Application de L(E) dans L(E)
Partie
Question
Soient \(E\) un espace vectoriel sur \(\mathbb K\) et \(L(E)\) l'espace vectoriel des endomorphismes de \(E\).
L'application \(f\) étant un endomorphisme de \(E\), on considère l'application \(\varphi_f\) de \(L(E)\) dans lui-même définie par :
\(\varphi_f :g\mapsto f\circ g\)
Démontrer que \(\varphi_f\) est une application linéaire.
Aide simple
Utiliser les propriétés de la loi \(\circ \), de la loi \(+\) et de la multiplication par un scalaire dans \(L(E)\).
Aide méthodologique
Soit une application \(\varphi\) d'un \(\mathbb K\textrm{-espace}\) vectoriel \(F\) dans un \(\mathbb K\textrm{-espace}\) vectoriel \(G\).
Pour démontrer que \(\varphi\) est linéaire, on peut vérifier que :
\(\forall(u,v)\in F^2,\varphi(u+v)=\varphi(u)+\varphi(v)\) et \(\forall(\alpha,u)\in\mathbb K\times F,\varphi(\alpha,u)=\alpha\varphi(u)\)
ou bien que \(\forall(u,v)\in F^2,\forall(\alpha,\beta)\in\mathbb K^2,\varphi(\alpha u,\beta v)=\alpha\varphi(u)+\beta\varphi(v)\).
Aide à la lecture
On désigne par \(L(E)\) l'espace vectoriel des endomorphismes de \(E\), c'est-à-dire des applications linéaires de l'espace vectoriel \(E\) dans lui-même.
Pour un élément quelconque \(g\) de \(L(E)\), \(\varphi_f(g)=f\circ g\) est bien un élément de \(L(E)\) car le composé de deux endomorphismes de \(E\) est un endomorphisme de \(E\).
L'application \(\varphi_f\) peut être définie par le diagramme suivant :
\(\begin{array}{ccl} L(E) &\rightarrow& L(E) \\ g &\mapsto& \varphi_f(g)=f \circ g \end{array}\)
Bien noter qu'ici les espaces de départ et d'arrivée sont égaux à \(L(E)\), donc, dans cet exercice, les vecteurs sont des endomorphismes de \(E\).
Solution détaillée
Soient \(g\) et \(h\) deux éléments de \(L(E)\), on compare et \(\varphi_f(g+h)\) et \(\varphi_f(g)+\varphi_f(h)\):
\(\varphi_f(g+h)=f\circ (g+h)\)
Or, d'après la propriété de distributivité de la loi \(\circ \)sur la loi \(+\) dans \(L(E)\),
\(f\circ (g+h)=f\circ g+f\circ h\)
D'où l'égalité :\(\varphi_f(g+h)=\varphi_f(g)+\varphi_f(h)\).
Soient \(g\) un élément de \(L(E)\), et \(\alpha\) un élément de \(\mathbb K\), on compare \(\varphi_f(\alpha g)\) et \(\alpha\varphi_f(g)\):
\(\varphi_f(\alpha g)=f\circ (\alpha g)\)
Or d'après les propriétés de la loi \(\circ \)et de la multiplication par un scalaire dans \(L(E)\),
\(f\circ (\alpha g)=\alpha(f\circ g)\)
D'où l'égalité : \(\varphi_f(\alpha g)=\alpha\varphi_f(g)\).
L'application \(\varphi_f\) est bien une application linéaire, c'est un endomorphisme de \(L(E)\):
il appartient à \(L(L(E))\).