Déterminer si une application de R3 dans R2 est linéaire
Partie
Question
On considère l'application \(f\) de \(\mathbb R^3\) dans \(\mathbb R^2\) définie par :
\(f :(x,y,z)\mapsto(xz,yz)\)
L'application \(f\) est-elle linéaire ?
Aide simple
On peut montrer par exemple que \(f\) ne vérifie pas la propriété :
\(\forall(\alpha,u)\in\mathbb K\times E,f(\alpha u)=\alpha f(u)\)
en donnant un contre-exemple.
Aide méthodologique
Soit une application \(f\) d'un \(\mathbb K\textrm{-espace}\) vectoriel \(E\) dans un \(\mathbb K\textrm{-espace}\) vectoriel \(F\).
Pour démontrer que \(f\) est linéaire, on peut vérifier que :
\(\forall(u,v)\in E^2,f(u+v)=f(u)+f(v)\) et \(\forall(\alpha,u)\in\mathbb K\times E,f(\alpha u)=\alpha f(u)\)
ou bien que \(\forall(u,v)\in E^2,\forall(\alpha,\beta)\in\mathbb K^2,f(\alpha u+\beta v)=\alpha f(u)+\beta f(v).\)
Pour démontrer que \(f\) n'est pas linéaire on peut :
ou bien montrer que \(f(0_E)\neq0_F\)
ou bien trouver deux vecteurs de \(E\), \(u\) et \(v\) tels que \(f(u+v)\neq f(u)+f(v)\)
ou bien trouver un vecteur \(u\) de \(E\), et un scalaire \(\alpha\) tels que \(f(\alpha u)\neq\alpha f(u)\)
Aide à la lecture
La première composante de \(f(x,y,z)\) est égale au produit de la première et de la troisième composante de \(u=(x,y,z)\) .
La deuxième composante de \(f(x,y,z)\) est égale au produit de la deuxième et de la troisième composante de \(u=(x,y,z)\).
Solution détaillée
\(\forall(\alpha,u)\in\mathbb K\times E,f(\alpha u)=(\alpha^2xz,\alpha^2yz)\) et \(\alpha f(u)=(\alpha xz,\alpha yz)\).
Soient \(\alpha=2\) et \(u=(1,0,1)\), on a \(f(\alpha u)=f((2,0,2))=(4,0)\) et \(\alpha f(u)=2(1,0)=(2,0)\),
donc \(f(\alpha u)\neq\alpha f(u)\).
L'application \(f\) n'est pas linéaire.
Remarque :
On pouvait également trouver deux vecteurs \(u\) et \(v\) tels que \(f(u+v)\neq f(u)+f(v)\).
(essayer \(u=(1,1,1)\) et \(v=(1,1,0)\))
En revanche, l'application \(f\) vérifie \(f((0,0,0))=(0,0)\).