Application linéaire

1. L'application \(f\) est la symétrie par rapport à la droite de direction la droite .

2. Soient \(\alpha,\beta\) deux scalaires et \(u, v\) deux vecteurs de \(E\) ; les sous-espaces \(F_1\) et \(F_2\) étant supplémentaires, \(u\) et \(v\) se décomposent de manière unique comme somme d'un vecteur de \(F_1\) et d'un vecteur de \(F_2\): \(u=u_1+u_2\) et \(v=v_1+v_2\).

D'où \(\alpha u+\beta v=(\alpha u_1+\beta v_1)+(\alpha u_2+\beta v_2)\).

\(\alpha u_1+\beta v_1\in F_1\) et \(\alpha u_2+\beta v_2\in F_2\) car ce sont des sous-espaces vectoriels de \(E\).On compare \(s(\alpha u+\beta v)\) et \(\alpha s(u)+\beta s(v)\):

\(\begin{array}{rcl}s(\alpha u+\beta v)&=&(\alpha u_1+\beta v_1)-(\alpha u_2+\beta v_2)\\&=&\alpha(u_1-u_2)+\beta(v_1+v_2)\\&=&\alpha s(u)+\beta s(v)\end{array}\)

L'application est donc linéaire.

3. Soit \(u\) un vecteur de \(E\). Il s'écrit de manière unique comme somme d'un vecteur de \(F_1\) et d'un vecteur de \(F_2\): \(u=u_1+u_2\). On calcule \(s\circ s(u)\):

\(s\circ s(u)=s(u_1-u_2)=u_1+u_2=u\)

D'où\(s\circ s=Id_E\).

L'égalité \(s\circ s=Id_E\) montre que \(s\) admet une application réciproque (\(s^{-1}=s\)) ; l'application \(s\) est donc bijective et sa bijection réciproque est \(s\) (on dit que \(s\) est involutive).