Déterminer si une application de D(R,R) dans P1 est linéaire [Application linéaire]

Déterminer si une application de D(R,R) dans P1 est linéaire

Partie

Question

On considère l'espace vectoriel $D(\mathbb R,\mathbb R)$ des fonctions de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$ , dérivables sur $\mathbb R$ , et l'espace vectoriel $P_1$ des fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à $1$ .

On appelle $\varphi$ l'application de $D(\mathbb R,\mathbb R)$ dans $P_1$ définie par :

La fonction $f$ étant un élément de $D(\mathbb R,\mathbb R)$ , $\varphi(f)$ est la fonction polynôme

$p :x\mapsto f(0)+f'(0)x$

Démontrer que l'application $\varphi$ est linéaire.

Aide simple

Pour montrer la compatibilité de $\varphi$ avec l'addition :

Se donner deux éléments de $D(\mathbb R,\mathbb R)$ , c'est-à-dire deux fonctions dérivables $f$ et $g$ .

Déterminer $\varphi(f)$ et $\varphi(g)$ : $\forall x\in\mathbb R,\varphi(f)(x)=f(0)+f'(0)x$ et $\varphi(g)(x)=g(0)+g'(0)x$ .

Montrer que les fonctions $\varphi(f+g)$ et $\varphi(f)+\varphi(g)$ sont égales en vérifiant que

$\forall x\in\mathbb R, \varphi(f+g)(x)=(\varphi(f)+\varphi(g))(x)$

Aide méthodologique

Soit une application $\varphi$ d'un $\mathbb K\textrm{-espace}$ vectoriel $E$ dans un $\mathbb K\textrm{-espace}$ vectoriel $F$ .

Pour démontrer que $\varphi$ est linéaire, on peut vérifier que :

$\forall(u,v)\in E^2,\varphi(u+v)=\varphi(u)+\varphi(v)$ et $\forall(\alpha,u)\in\mathbb K\times E,\varphi(\alpha,u)=\alpha\varphi(u)$

ou bien que $\forall(u,v)\in E^2,\forall(\alpha,\beta)\in\mathbb K^2,\varphi(\alpha u,\beta v)=\alpha\varphi(u)+\beta\varphi(v)$ .

Aide à la lecture

L'application $\varphi$ peut être définie par le diagramme suivant :

$\begin{array}{ccc}\varphi :D(\mathbb R,\mathbb R)&\rightarrow&P_1\\ f&\mapsto&\varphi(f)\end{array}\textrm{ avec }\begin{array}{ccc}\varphi(f) :\mathbb R&\rightarrow& \mathbb R\\ x&\mapsto& f(0)+f'(0)x\end{array}$

Bien faire attention que dans cet exercice, les vecteurs sont des fonctions.

Solution détaillée

Soient $f$ et $g$ deux éléments de $D(\mathbb R,\mathbb R)$ .

$\forall x\in\mathbb R,\varphi(f)(x)=f(0)+f'(0)x$ et $\varphi(g)(x)=g(0)+g'(0)x$ .

Donc $\forall x\in\mathbb R$ ,

$\begin{array}{rcl}(\varphi(f)+\varphi(g))(x)&=&\varphi(f)(x)+\varphi(g)(x)\\&=&(f(0)+g(0))+(f'(0)+g'(0))x\\&=&(f+g)(0)+(f+g)'(0)x\\&=&\varphi(f+g)(x)\end{array}$

On a ainsi prouvé que $\varphi(f+g)=\varphi(f)+\varphi(g)$ .

Soient $f$ un élément de $D(\mathbb R,\mathbb R)$ et $\alpha$ un réel. $\forall x\in\mathbb R$ ,

$\begin{array}{rcl}\alpha(\varphi(f))(x)&=&\alpha(\varphi(f)(x))\\&=&\alpha f(0)+\alpha f'(0)x\\&=&(\alpha f)(0)+(\alpha f)'(0)x\\&=&\varphi(\alpha f)(x)\end{array}$

On a ainsi prouvé que $\varphi(\alpha f)=\alpha\varphi(f)$ .

L'application $\varphi$ est donc linéaire.

Complément :

On peut remarquer que $y=f(0)+f'(0)x$ est l'équation de la tangente à l'origine à la courbe représentative de la fonction $f$ .