Déterminer si une application de D(R,R) dans P1 est linéaire
Partie
Question
On considère l'espace vectoriel \(D(\mathbb R,\mathbb R)\) des fonctions de \(\mathbb R\) dans \(\mathbb R\), dérivables sur \(\mathbb R\), et l'espace vectoriel \(P_1\) des fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à \(1\).
On appelle \(\varphi\) l'application de \(D(\mathbb R,\mathbb R)\) dans \(P_1\) définie par :
La fonction \(f\) étant un élément de \(D(\mathbb R,\mathbb R)\), \(\varphi(f)\) est la fonction polynôme
\(p :x\mapsto f(0)+f'(0)x\)
Démontrer que l'application \(\varphi\) est linéaire.
Aide simple
Pour montrer la compatibilité de \(\varphi\) avec l'addition :
Se donner deux éléments de \(D(\mathbb R,\mathbb R)\), c'est-à-dire deux fonctions dérivables \(f\) et \(g\).
Déterminer \(\varphi(f)\) et \(\varphi(g)\): \(\forall x\in\mathbb R,\varphi(f)(x)=f(0)+f'(0)x\) et \(\varphi(g)(x)=g(0)+g'(0)x\).
Montrer que les fonctions \(\varphi(f+g)\) et \(\varphi(f)+\varphi(g)\) sont égales en vérifiant que
\(\forall x\in\mathbb R, \varphi(f+g)(x)=(\varphi(f)+\varphi(g))(x)\)
Aide méthodologique
Soit une application \(\varphi\) d'un \(\mathbb K\textrm{-espace}\) vectoriel \(E\) dans un \(\mathbb K\textrm{-espace}\) vectoriel \(F\).
Pour démontrer que \(\varphi\) est linéaire, on peut vérifier que :
\(\forall(u,v)\in E^2,\varphi(u+v)=\varphi(u)+\varphi(v)\) et \(\forall(\alpha,u)\in\mathbb K\times E,\varphi(\alpha,u)=\alpha\varphi(u)\)
ou bien que \(\forall(u,v)\in E^2,\forall(\alpha,\beta)\in\mathbb K^2,\varphi(\alpha u,\beta v)=\alpha\varphi(u)+\beta\varphi(v)\).
Aide à la lecture
L'application \(\varphi\) peut être définie par le diagramme suivant :
\(\begin{array}{ccc}\varphi :D(\mathbb R,\mathbb R)&\rightarrow&P_1\\ f&\mapsto&\varphi(f)\end{array}\textrm{ avec }\begin{array}{ccc}\varphi(f) :\mathbb R&\rightarrow& \mathbb R\\ x&\mapsto& f(0)+f'(0)x\end{array}\)
Bien faire attention que dans cet exercice, les vecteurs sont des fonctions.
Solution détaillée
Soient \(f\) et \(g\) deux éléments de \(D(\mathbb R,\mathbb R)\).
\(\forall x\in\mathbb R,\varphi(f)(x)=f(0)+f'(0)x\) et \(\varphi(g)(x)=g(0)+g'(0)x\).
Donc \(\forall x\in\mathbb R\),
\(\begin{array}{rcl}(\varphi(f)+\varphi(g))(x)&=&\varphi(f)(x)+\varphi(g)(x)\\&=&(f(0)+g(0))+(f'(0)+g'(0))x\\&=&(f+g)(0)+(f+g)'(0)x\\&=&\varphi(f+g)(x)\end{array}\)
On a ainsi prouvé que \(\varphi(f+g)=\varphi(f)+\varphi(g)\).
Soient \(f\) un élément de \(D(\mathbb R,\mathbb R)\) et \(\alpha\) un réel. \(\forall x\in\mathbb R\),
\(\begin{array}{rcl}\alpha(\varphi(f))(x)&=&\alpha(\varphi(f)(x))\\&=&\alpha f(0)+\alpha f'(0)x\\&=&(\alpha f)(0)+(\alpha f)'(0)x\\&=&\varphi(\alpha f)(x)\end{array}\)
On a ainsi prouvé que \(\varphi(\alpha f)=\alpha\varphi(f)\).
L'application \(\varphi\) est donc linéaire.
Complément :
On peut remarquer que \(y=f(0)+f'(0)x\) est l'équation de la tangente à l'origine à la courbe représentative de la fonction \(f\).