Déterminant d'ordre 2

Les déterminants d'ordre 2 peuvent être définis et étudiés de trois points de vue.

I. Tableau de nombres :

\(det \left| \begin{array}{ccc} a & c \\ b & d \\ \end{array} \right|= ad-bc\)

Un déterminant d'ordre 2 est la valeur numérique d'un tableau de nombres.

II. Déterminant de deux vecteurs

Le déterminant de deux vecteurs \(\vec{V}=a\vec{i}+b\vec{j}\) et \(\vec{W}=c\vec{i}+d\vec{j}\) est la valeur du tableau :

\(det \left (\vec{V},\vec{W} \right )= ad-bc=\left| \begin{array}{ccc} a & c \\ b & d \\ \end{array} \right|\)

III. Forme bilinéaire alternée

Un déterminant d'ordre 2 est une forme bilinéaire antisymétrique de \(\mathrm{I\!R^2}× \mathrm{I\!R^2}\) à valeurs dans \(\mathrm{I\!R}\). Forme signifie ici application à valeur numérique.

Bilinéarité

Le déterminant \(det \left (\vec{V},\vec{W} \right )\) est une forme bilinéaire, c'est-à-dire qu'il est

  • linéaire par rapport à \(\vec{V}\), quand \(\vec{W}\) est fixé,

  • linéaire par rapport à \(\vec{W}\), quand \(\vec{V}\) est fixé.

Forme alternée

\(det \left (\vec{V},\vec{W} \right )\) est une forme antisymétrique, c'est un nombre qui se change en son opposé quand on échange les deux vecteurs.

\(det \left (\vec{V},\vec{W} \right ):\left| \begin{array}{ccc} c & a \\ d & b \\ \end{array} \right| =cb-ad=-(ad-cb)\)

\(det \left (\vec{V},\vec{W} \right )=-det \left (\vec{W},\vec{V} \right )\)

En faisant \(\vec{V} = \vec{W}\) on en déduit \(det \left (\vec{V},\vec{W} \right ) = 0\)

Déterminant des vecteurs de la base

Le calcul est immédiat, on obtient \(det(\vec{i}, \vec{j}) = 1\) et \(det(\vec{j}, \vec{i}) = - 1\).

En récapitulant toutes ces propriétés, on peut écrire le théorème suivant.

Théorème

Un déterminant d'ordre \(\mathrm{I\!R^2} \times  \mathrm{I\!R^2} \stackrel{det}{\rightarrow} \mathrm{I\!R}\) est une forme

  • linéaire par rapport à chaque variable

  • antisymétrique

  • qui prend la valeur 1 pour les vecteurs \(\vec{i}\), \(\vec{j}\) de la base :

    \(det\left ( \, \vec{i}, \vec{j} \,\right ) = 1\)

Critère de dépendance linéaire

Le déterminant de deux vecteurs \(\vec{V}, \vec{W}\) de \(\mathrm{I\!R^2}\)  est nul si et seulement si ces deux vecteurs sont dépendants. \(det(\vec{V}, \vec{W}) = ad - bc = 0\) équivaut à \(\vec{V}\) et \(\vec{W}\) dépendants.

DémonstrationDémonstration directe :

Si \(\vec{V}\) et \(\vec{W}\) sont dépendants, alors l'un des vecteurs est nul ou les deux vecteurs sont colinéaires : \(\vec{V} = 0~~ou~~\vec{W} = 0~~ou~~\vec{V} = \lambda \vec{W}\). Dans ces trois cas, \(ad - bc = 0\).

Réciproque

on suppose que le déterminant nul ad - bc = 0 et on examine plusieurs cas suivant que a est nul ou non :

  • Premièrement :

    • Si \(a = 0\) alors on a \(b = 0\) ou \(c = 0\) ;

    • si \(a\) et \(b\) sont nuls, \(\vec{V} = 0\) ;

    • si \(a\) et \(c\) sont nuls, \(\vec{V}\) et \(\vec{W}\) sont colinéaires.

  • Deuxièmement :

    • Si \(a \neq 0\) on peut écrire \(d = \frac {b} {a}\,c \) ; alors on a \((c, d) = \frac {c}{a} (a, b)\) et donc \(\vec{W} = \frac {c} {a} \vec{V}\).

    • Conclusion : dans tous les cas \(ad - bc = 0\) implique que \(\vec{W}\) et \(\vec{V}\) sont dépendants.

Utilisation des déterminants

On utilise des déterminants pour le calcul des solutions d'un système :

\(\left\{ \begin{array}{ccc} ax+cy &=e\\ bx+dy &=f \end{array} \right.\)

Si

\( det \left| \begin{array}{ccc} a & c \\ b & d \\ \end{array} \right| \neq 0\)

alors le système est un système de Cramer ; il possède une solution unique que l'on peut calculer avec les déterminants de la façon suivante :

\(det \left| \begin{array}{ccc} ax+cy & c \\ bx+dy & d \\ \end{array} \right| =det \left| \begin{array}{ccc} e & c \\ f & d \\ \end{array} \right|=x~det \left| \begin{array}{ccc} a & c \\ b & d \\ \end{array} \right|\)

\(det \left| \begin{array}{ccc} a & ax+cy \\ b & bx+dy \\ \end{array} \right| =det \left| \begin{array}{ccc} a & e \\ b & f \\ \end{array} \right|=y~det \left| \begin{array}{ccc} a & c \\ b & d \\ \end{array} \right|\)

\(x = \frac {\left| \begin{array}{ccc} e & c \\ f & d \\ \end{array} \right|} {\left| \begin{array}{ccc} a & c \\ b & d \\ \end{array} \right|} \quad et \quad y = \frac {\left| \begin{array}{ccc} a & e \\ b & f \\ \end{array} \right|} {\left| \begin{array}{ccc} a & c \\ b & d \\ \end{array} \right|}\)