Déterminant

soit $E = \mathrm{I\!R^n}$ rapporté à la base canonique $e_1, \dots , e_n$. On considère $n$ vecteurs $V_1, \dots , V_n$ avec $v_j=\sum \limits_{\underset{}{i=1}}^{n} a_{ij} e_{i}$ pour toute valeur de $j$, et on définit le déterminant de ces $n$ vecteurs par récurrence sur n par l'expression :

$\left| \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21}& a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots && \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \vdots && \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{array} \right| = det \left (V_1,V_2,\ldots,V_n \right )=\sum \limits_{\underset{}{i=1}}^{n} (-1) \,^ {i+1} a_{1i} D_{i1}$

Les déterminants $D_{i1}$ étant des déterminants d'ordre $n - 1$ obtenus en barrant dans le déterminant $D$ la i-ième ligne et la première colonne.

$det \left (V_1,V_2,\ldots,V_n \right )$ est linéaire par rapport au premier vecteur. Cela est évident sur la définition

$det \left (\lambda V_1+\mu V'_1,V_2,\ldots,V_n \right )=\lambda~det \left (V_1,V_2,\ldots,V_n \right )+\mu~det \left ( V'_1,V_2,\ldots,V_n \right )$

$det(V_1, V_2, \ldots , V_n)$ est linéaire par rapport à chacun des autres vecteurs $V_2, \ldots , V_n$, puisque tous les sous-déterminants $D_{1i}$ qui ne contiennent que des colonnes extraites des derniers vecteurs le sont.

$det \left (V_1, V_2, \ldots , V_n \right ) = 0~~si ~~V_i = V_j$

Démonstration par récurrence en supposant comme hypothèse de récurrence la propriété vraie pour tous les déterminants d'ordre inférieur à $n$.

Le déterminant s'annule si deux des vecteurs $V_i$ et $V_j$ sont égaux pour des indices $i \geq 2$ et $j \geq 2$. Ce cas est facile à démontrer par récurrence en utilisant la définition pour tous les déterminants d'ordre $n - 1$.

Le déterminant s'annule si deux des vecteurs $V_1$ et $V_j$ sont égaux pour un indice $j \geq 2$. Ce cas est moins facile à démontrer par récurrence. Il faut de nouveau développer tous les déterminants $D_{i1}$ par rapport à la première colonne en utilisant la propriété pour tous les déterminants d'ordre $n - 1$. Soient $\Delta_{kl}$ le déterminant obtenu en barrant les colonnes 1 et $i$ et les lignes $k$ et $l$. Ces déterminants apparaissent quand on développe le déterminant initial suivant la première colonne, puis les sous-déterminants suivant la colonne issue du vecteur $V_i$ . Dans les sommes issues de ces calculs, $\Delta_{kl}$ apparaît deux fois avec des coefficients opposés :

$a_{k1}a_{li}$ et $- a_{ki}a_{l1}$ , (on n'oublie pas que les colonnes 1 et $i$ sont identiques). On obtient une somme de $n(n - 1)$ termes et donc un nombre pair de termes. Ceux-ci se regroupent deux à deux. Donc la somme est nulle.

On démontre la propriété d'antisymétrie en utilisant la propriété précédente, $det(V_1, V_2, V_3, \ldots , V_n) = 0$ si deux colonnes sont égales et la bilinéarité et en développant le déterminant

$det(V_1, V_2, \ldots , V_i + V_{j'}, \ldots ,V_i + V_{j'}, \ldots , V_n) = 0$

$det(e_1, \ldots , e_n) = 1.$