Déterminant d'ordre n
Méthode : Définition de proche en proche
Comme pour le déterminant d'ordre 3 calculé à partir des déterminants d'ordre 2, on va définir par récurrence le déterminant d'ordre \(n\) ou encore de \(n\) vecteurs de \(\mathrm{I\!R^n}\). On définit le développement par rapport à la première colonne qui semble jouer un rôle privilégié. On verra qu'il n'en est rien.
soit \(E = \mathrm{I\!R^n}\) rapporté à la base canonique \(e_1, \dots , e_n\). On considère \(n\) vecteurs \(V_1, \dots , V_n\) avec \(v_j=\sum \limits_{\underset{}{i=1}}^{n} a_{ij} e_{i}\) pour toute valeur de \(j\), et on définit le déterminant de ces \(n\) vecteurs par récurrence sur n par l'expression :
\(\left| \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21}& a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots && \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \vdots && \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{array} \right| = det \left (V_1,V_2,\ldots,V_n \right )=\sum \limits_{\underset{}{i=1}}^{n} (-1) \,^ {i+1} a_{1i} D_{i1}\)
Les déterminants \(D_{i1}\) étant des déterminants d'ordre \(n - 1\) obtenus en barrant dans le déterminant \(D\) la i-ième ligne et la première colonne.
Propriété : Linéarité
Les propriétés suivantes sont à démontrer par récurrence sur \(n\). On voit l'inconvénient de la définition par récurrence. Elle oblige à distinguer deux cas suivant que le vecteur \(V_1\) est utilisé ou non. Certaines de ces démonstrations sont complexes et seules des indications seront données.
Linéarité par rapport au premier vecteur
\(det \left (V_1,V_2,\ldots,V_n \right )\) est linéaire par rapport au premier vecteur. Cela est évident sur la définition
\(det \left (\lambda V_1+\mu V'_1,V_2,\ldots,V_n \right )=\lambda~det \left (V_1,V_2,\ldots,V_n \right )+\mu~det \left ( V'_1,V_2,\ldots,V_n \right )\)
Linéarité par rapport aux autres vecteurs
\(det(V_1, V_2, \ldots , V_n)\) est linéaire par rapport à chacun des autres vecteurs \(V_2, \ldots , V_n\), puisque tous les sous-déterminants \(D_{1i}\) qui ne contiennent que des colonnes extraites des derniers vecteurs le sont.
Cas de deux vecteurs égaux
\(det \left (V_1, V_2, \ldots , V_n \right ) = 0~~si ~~V_i = V_j\)
Démonstration par récurrence en supposant comme hypothèse de récurrence la propriété vraie pour tous les déterminants d'ordre inférieur à \(n\).
Le déterminant s'annule si deux des vecteurs \(V_i\) et \(V_j\) sont égaux pour des indices \(i \geq 2\) et \(j \geq 2\). Ce cas est facile à démontrer par récurrence en utilisant la définition pour tous les déterminants d'ordre \(n - 1\).
Le déterminant s'annule si deux des vecteurs \(V_1\) et \(V_j\) sont égaux pour un indice \(j \geq 2\). Ce cas est moins facile à démontrer par récurrence. Il faut de nouveau développer tous les déterminants \(D_{i1}\) par rapport à la première colonne en utilisant la propriété pour tous les déterminants d'ordre \(n - 1\). Soient \(\Delta_{kl}\) le déterminant obtenu en barrant les colonnes 1 et \(i\) et les lignes \(k\) et \(l\). Ces déterminants apparaissent quand on développe le déterminant initial suivant la première colonne, puis les sous-déterminants suivant la colonne issue du vecteur \(V_i\) . Dans les sommes issues de ces calculs, \(\Delta_{kl}\) apparaît deux fois avec des coefficients opposés :
\(a_{k1}a_{li}\) et \(- a_{ki}a_{l1}\) , (on n'oublie pas que les colonnes 1 et \(i\) sont identiques). On obtient une somme de \(n(n - 1)\) termes et donc un nombre pair de termes. Ceux-ci se regroupent deux à deux. Donc la somme est nulle.
On démontre la propriété d'antisymétrie en utilisant la propriété précédente, \(det(V_1, V_2, V_3, \ldots , V_n) = 0\) si deux colonnes sont égales et la bilinéarité et en développant le déterminant
\(det(V_1, V_2, \ldots , V_i + V_{j'}, \ldots ,V_i + V_{j'}, \ldots , V_n) = 0\)
Propriété : Antisymétrie
Le déterminant se change en son opposé si on échange deux des vecteurs \(V_i\) et \(V_j\) pour des indices \(i\) et \(j\) distincts.
\(det(V_1, ..., V_i, ..., V_j, ..., V_n) = - det(V_1, ..., V_j, ..., V_i, ..., V_n)\)
Le déterminant ne change pas si on ajoute à l'un des vecteurs une combinaison linéaire des autres vecteurs.
Ceci résulte des propriétés précédentes, et permet de simplifier le calcul du déterminant.
Déterminant des vecteurs du repère
\(det(e_1, \ldots , e_n) = 1.\)