Propriétés des déterminants d'ordre 3

Proposition

Si les vecteurs \(A, B, C\) sont dépendants, alors le déterminant \(det(A, B, C)\) est nul. En effet, si l'un des vecteurs par exemple \(A\), s'exprime en fonction des autres \(A = \lambda B + \mu C\) et donc \(det(\lambda B + \mu C, B, C) = 0\)

Réciproque

Si \(det(A, B, C) = 0\), alors les vecteurs \(A, B, C\) sont dépendants. On démontre la contraposée : si \(A, B, C\) sont indépendants, alors \(det(A, B, C) \neq 0\).

Si \(A, B, C\) sont indépendants, ces vecteurs forment une base de \(\mathrm{I\!R^3}\) et nous pouvons exprimer \(e_1, e_2, e_3\) en fonction de \(A, B, C\).

\(\left\{ \begin{array}{ccc} e_1=\alpha_1 A + \beta_1 B + \gamma_1 C \\ e_2=\alpha_2 A + \beta_2 B + \gamma_2 C \\ e_3=\alpha_3 A + \beta_3 B + \gamma_3 C\end{array} \right.\)

\(det(e_1,e_2,e_3)=det\left| \begin{array}{ccc} \alpha_1 & \alpha_2 & \alpha_3\\ \beta_1 & \beta_2 & \beta_3 \\ \gamma_1 & \gamma_2 & \gamma_3 \end{array} \right| det(A,B,C)\)

Or \(det(e_1, e_2, e_3) = 1\) et donc on peut déduire \(det(A, B, C) \ne 0\).

Critère de dépendance linéaire

Trois vecteurs de \(\mathrm{I\!R^3}\) sont linéairement dépendants si et seulement si leur déterminant est nul.

\(A, B, C\) dépendants \(\Longleftrightarrow det(A, B, C) = 0\)

Critère d'indépendance linéaire

Trois vecteurs de \(\mathrm{I\!R^3}\) sont linéairement indépendants si et seulement si leur déterminant est non nul.

\(det(A, B, C) \ne 0 \Longleftrightarrow A, B, C\) indépendants.

Solution d'un système de Cramer

\(\left\{ \begin{array}{lcl} a_1x + b_1y + c_1z &=&d_1\\ a_2x + b_2y + c_2z &=&d_2 \\a_3x + b_3y + c_3z &=&d_3 \end{array}\right. \qquad si \qquad \left| \begin{array}{ccc} a_1 & b_1 & c_1\\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{array} \right| \ne 0 \)

Calcul de x

\(\left| \begin{array}{ccc} d_1 & b_1 & c_1\\ d_2 & b_2 & c_2 \\ d_3 & b_3 & c_3 \end{array} \right| = \left| \begin{array}{ccc} a_1x + b_1y + c_1z & b_1 & c_1\\ a_2x + b_2y + c_2z & b_2&c_2 \\ a_3x + b_3y + c_3z & b_3 & c_3 \end{array} \right| = x \left| \begin{array}{ccc} a_1 & b_1 & c_1\\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{array} \right|\)

Calcul de y

\(\left| \begin{array}{ccc} a_1 & d_1 & c_1\\ a_2 & d_2 & c_2 \\ a_3 & d_3 & c_3 \end{array} \right| = \left| \begin{array}{ccc} a_1& a_1x + b_1y + c_1z & c_1\\ a_2 & a_2x + b_2y + c_2z &c_2 \\ a_3 & a_3x + b_3y + c_3z & c_3 \end{array} \right| = y \left| \begin{array}{ccc} a_1 & b_1 & c_1\\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{array} \right|\)

Calcul de z

\(\left| \begin{array}{ccc} a_1 & b_1 & d_1\\ a_2 & b_2 & d_2 \\ a_3 & b_3 & d_3 \end{array} \right| = \left| \begin{array}{ccc} a_1 & b_1 & a_1x + b_1y + c_1z \\ a_2 & b_2 & a_2x + b_2y + c_2z \\ a_3 & b_3 & a_3x + b_3y + c_3z \end{array} \right| = z \left| \begin{array}{ccc} a_1 & b_1 & c_1\\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{array} \right|\)

Calcul des solutions

\(x= \frac {\left| \begin{array}{ccc} d_1 & b_1 & c_1\\ d_2 & b_2 & c_2 \\ d_3 & b_3 & c_3 \end{array} \right|} {\left| \begin{array}{ccc} a_1 & b_1 & c_1\\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{array} \right|} \qquad y= \frac {\left| \begin{array}{ccc} a_1 & d_1 & c_1\\ a_2 & d_2 & c_2 \\ a_3 & d_3 & c_3 \end{array} \right|} {\left| \begin{array}{ccc} a_1 & b_1 & c_1\\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{array} \right|} \qquad z=\frac {\left| \begin{array}{ccc} a_1 & b_1 & d_1\\ a_2 & b_2 & d_2 \\ a_3 & b_3 & d_3 \end{array} \right|} {\left| \begin{array}{ccc} a_1 & b_1 & c_1\\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{array}\right|}\)