Propriétés des déterminants d'ordre 3
Proposition :
Si les vecteurs \(A, B, C\) sont dépendants, alors le déterminant \(det(A, B, C)\) est nul. En effet, si l'un des vecteurs par exemple \(A\), s'exprime en fonction des autres \(A = \lambda B + \mu C\) et donc \(det(\lambda B + \mu C, B, C) = 0\)
Réciproque
Si \(det(A, B, C) = 0\), alors les vecteurs \(A, B, C\) sont dépendants. On démontre la contraposée : si \(A, B, C\) sont indépendants, alors \(det(A, B, C) \neq 0\).
Si \(A, B, C\) sont indépendants, ces vecteurs forment une base de \(\mathrm{I\!R^3}\) et nous pouvons exprimer \(e_1, e_2, e_3\) en fonction de \(A, B, C\).
\(\left\{ \begin{array}{ccc} e_1=\alpha_1 A + \beta_1 B + \gamma_1 C \\ e_2=\alpha_2 A + \beta_2 B + \gamma_2 C \\ e_3=\alpha_3 A + \beta_3 B + \gamma_3 C\end{array} \right.\)
\(det(e_1,e_2,e_3)=det\left| \begin{array}{ccc} \alpha_1 & \alpha_2 & \alpha_3\\ \beta_1 & \beta_2 & \beta_3 \\ \gamma_1 & \gamma_2 & \gamma_3 \end{array} \right| det(A,B,C)\)
Or \(det(e_1, e_2, e_3) = 1\) et donc on peut déduire \(det(A, B, C) \ne 0\).
Critère de dépendance linéaire
Trois vecteurs de \(\mathrm{I\!R^3}\) sont linéairement dépendants si et seulement si leur déterminant est nul.
\(A, B, C\) dépendants \(\Longleftrightarrow det(A, B, C) = 0\)
Critère d'indépendance linéaire
Trois vecteurs de \(\mathrm{I\!R^3}\) sont linéairement indépendants si et seulement si leur déterminant est non nul.
\(det(A, B, C) \ne 0 \Longleftrightarrow A, B, C\) indépendants.
Solution d'un système de Cramer
\(\left\{ \begin{array}{lcl} a_1x + b_1y + c_1z &=&d_1\\ a_2x + b_2y + c_2z &=&d_2 \\a_3x + b_3y + c_3z &=&d_3 \end{array}\right. \qquad si \qquad \left| \begin{array}{ccc} a_1 & b_1 & c_1\\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{array} \right| \ne 0\)
Calcul de x
\(\left| \begin{array}{ccc} d_1 & b_1 & c_1\\ d_2 & b_2 & c_2 \\ d_3 & b_3 & c_3 \end{array} \right| = \left| \begin{array}{ccc} a_1x + b_1y + c_1z & b_1 & c_1\\ a_2x + b_2y + c_2z & b_2&c_2 \\ a_3x + b_3y + c_3z & b_3 & c_3 \end{array} \right| = x \left| \begin{array}{ccc} a_1 & b_1 & c_1\\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{array} \right|\)
Calcul de y
\(\left| \begin{array}{ccc} a_1 & d_1 & c_1\\ a_2 & d_2 & c_2 \\ a_3 & d_3 & c_3 \end{array} \right| = \left| \begin{array}{ccc} a_1& a_1x + b_1y + c_1z & c_1\\ a_2 & a_2x + b_2y + c_2z &c_2 \\ a_3 & a_3x + b_3y + c_3z & c_3 \end{array} \right| = y \left| \begin{array}{ccc} a_1 & b_1 & c_1\\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{array} \right|\)
Calcul de z
\(\left| \begin{array}{ccc} a_1 & b_1 & d_1\\ a_2 & b_2 & d_2 \\ a_3 & b_3 & d_3 \end{array} \right| = \left| \begin{array}{ccc} a_1 & b_1 & a_1x + b_1y + c_1z \\ a_2 & b_2 & a_2x + b_2y + c_2z \\ a_3 & b_3 & a_3x + b_3y + c_3z \end{array} \right| = z \left| \begin{array}{ccc} a_1 & b_1 & c_1\\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{array} \right|\)
Calcul des solutions
\(x= \frac {\left| \begin{array}{ccc} d_1 & b_1 & c_1\\ d_2 & b_2 & c_2 \\ d_3 & b_3 & c_3 \end{array} \right|} {\left| \begin{array}{ccc} a_1 & b_1 & c_1\\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{array} \right|} \qquad y= \frac {\left| \begin{array}{ccc} a_1 & d_1 & c_1\\ a_2 & d_2 & c_2 \\ a_3 & d_3 & c_3 \end{array} \right|} {\left| \begin{array}{ccc} a_1 & b_1 & c_1\\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{array} \right|} \qquad z=\frac {\left| \begin{array}{ccc} a_1 & b_1 & d_1\\ a_2 & b_2 & d_2 \\ a_3 & b_3 & d_3 \end{array} \right|} {\left| \begin{array}{ccc} a_1 & b_1 & c_1\\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{array}\right|}\)