Déterminant

Calculons \(det : \mathrm{I\!R^2} \longrightarrow \mathrm{I\!R}\) en utilisant que c'est une forme trilinéaire alternée. En développant \(det\left (\sum \limits_{\underset{}{i=1}}^{3} a_ie_i,\sum \limits_{\underset{}{i=1}}^{3} b_je_j,\sum \limits_{\underset{}{i=1}}^{3} c_ke_k\right)\), on obtient 27 termes

\(\sum \limits_{\underset{}{ijk}} det(e_i,e_j,e_k)\)

Beaucoup sont nuls car ils correspondent à \(det(e_i, e_j, e_k)\) avec au moins deux vecteurs égaux. Seuls restent 6 termes non nuls quand \(i, j, k\) forment une permutation de \({1, 2, 3}\). On a :

\(det(e_1, e_2, e_3) = det(e_3, e_1, e_2) = det(e_2, e_3, e_1)\)

\(= - det(e_1, e_3, e_2) = - det(e_3, e_2, e_1) = - det(e_2, e_1, e_3)\)

Ceci conduit à étudier les permutations des nombres 1, 2, 3.

On désigne pour des raisons que nous expliquerons dans un paragraphe suivant, et on note les permutations des nombres 1, 2, 3 de la façon suivante :

\(\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2& 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} \right) \quad \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{array} \right) \quad \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2& 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{array} \right)\)

\(\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2& 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{array} \right) \quad \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{array} \right) \quad \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2& 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{array} \right)\)

On posera : \(\epsilon_{ijk} = + 1\) si \(i, j, k\) est une permutation paire de \({1, 2, 3}\).

\(\epsilon_{ijk} = - 1\) si \(i, j, k\) est une permutation impaire de \({1, 2, 3}\).

On peut donc résumer les relations obtenues précédemment avec l'égalité :

\(det(e_i, e_j, e_k) = \epsilon_{ijk} det(e_1, e_2, e_3)\)

Si nous supposons une forme trilinéaire alternée f de \(\mathrm{I\!R^3}\) dans \(\mathrm{I\!R}\) alors en développant on obtient :

\(f\left (\sum \limits_{\underset{}{i=1}}^{3} a_ie_i,\sum \limits_{\underset{}{i=1}}^{3} b_je_j,\sum \limits_{\underset{}{i=1}}^{3} c_ke_k\right)=\sum \limits_{\underset{}{ijk}} a_i b_j c_k f(e_i,e_j,e_k)\)

\(\sum \limits_{\underset{}{ijk}} a_i b_j c_k f(e_i,e_j,e_k)=\sum \limits_{\underset{}{ijk}} \epsilon_{ijk} a_i b_j c_k f(e_1,e_2,e_3)\)

\(f(A,B,C)=f\left (\sum \limits_{\underset{}{i=1}}^{3} a_ie_i,\sum \limits_{\underset{}{i=1}}^{3} b_je_j,\sum \limits_{\underset{}{i=1}}^{3} c_ke_k\right)=det(A,B,C)f(e_1,e_2,e_3)\)

Toute forme trilinéaire alternée sur \(\mathrm{I\!R^3}\) est proportionnelle à la forme det :

\(f(A, B, C) = \lambda~ det(A, B, C) ~~avec ~~\lambda = f(e_1, e_2, e_3)\)