Introduction du déterminant d'ordre 3

I . Tableau de nombres

Un déterminant d'ordre 3 est la valeur numérique d'un tableau de nombres.

\(det \left| \begin{array}{ccc} a_1 & b_1 & c_1\\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{array} \right|= a_1 \left| \begin{array}{ccc} b_2 & c_2 \\ b_3 & c_3  \end{array} \right|-a_2\left| \begin{array}{ccc} b_1 & c_1 \\ b_3 & c_3  \end{array} \right|+a_3\left| \begin{array}{ccc} b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2  \end{array} \right| \)

\(=a_1b_2c_3+a_2b_3c_1+a_3b_1c_2-a_1b_3c_2-a_2b_1c_3-a_3b_2c_1\)

Les termes correspondants aux permutations 123, 231, 312 sont précédés du signe \(+\).

Les autres correspondants aux permutations 132, 213, 321 sont précédés du signe \(-\).

II. Déterminant de trois vecteurs

Soient trois vecteurs \(\vec{A},\vec{B}, \vec{C}~ de~ \mathrm{I\!R^3}\), muni de la base canonique \((\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3}) : \vec{A}=a_1~\vec{e_1}+a_2~\vec{e_2}+a_3~\vec{e_3}, ~~\vec{B}=b_1~\vec{e_1}+b_2~ \vec{e_2}+b_3~\vec{e_3} , ~~\vec{C}=c_1~\vec{e_1}+c_2~\vec{e_2}+c_3~\vec{e_3}\)

Le déterminant \(det(\vec{A},\vec{B}, \vec{C})\) de trois vecteurs \(\vec{A},\vec{B}, \vec{C}\) est donné par :

\(det(\vec{A},\vec{B}, \vec{C}) = det \left| \begin{array}{ccc} a_1 & b_1 & c_1\\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{array} \right|\)

\(=a_1b_2c_3+a_2b_3c_1+a_3b_1c_2-a_1b_3c_2-a_2b_1c_3-a_3b_2c_1\)

Trilinéarité

Si on fixe deux des vecteurs \(\vec{A},\vec{B}, \vec{C}\) le déterminant est linéaire par rapport au troisième.

Cas de deux vecteurs égaux

Si deux des vecteurs sont égaux, le déterminant est nul :

\(det(\vec{A},\vec{A}, \vec{C})=0=det(\vec{A},\vec{B}, \vec{B})=det(\vec{A},\vec{B}, \vec{A})\)

Le déterminant est une forme alternée

Si on échange deux vecteurs, le déterminant se change en son opposé.

Démonstration

on veut montrer que si on échange par exemple \(\vec{B} ~et~\vec{C}\), le déterminant se change en son opposé. Pour cela, on développe en utilisant la bilinéarité :

\(det(\vec{A},\vec{A}, \vec{C})=0\)

\(=det(\vec{A},\vec{B}, \vec{B})+det(\vec{A},\vec{B}, \vec{C})+det(\vec{A},\vec{C}, \vec{B})+det(\vec{A},\vec{C}, \vec{C})\)

\(=0+det(\vec{A},\vec{B}, \vec{C})+det(\vec{A},\vec{C}, \vec{B})+0\)

On peut faire de même pour les autres couples de vecteurs.

Valeur sur la base

Valeur sur la base :

\(det(\vec{e_1},\vec{e_2}, \vec{e_3})=det \left| \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right|=1\)

Récapitulation

Nous noterons \(E = \mathrm{I\!R^3}\), muni de la base canonique. Un déterminant d'ordre 3 est une forme trilinéaire alternée de \(\mathrm{I\!R^3} \times \mathrm{I\!R^3} \times \mathrm{I\!R^3}\), dans l'espace \(\mathrm{I\!R}\), qui vaut 1 sur la base canonique canonique \(\vec{e_1},~\vec{e_2},~ \vec{e_3}\).