Définitions : endomorphisme diagonalisable, valeur propre, vecteur propre
Définition : Endomorphisme diagonalisable
Soit un espace vectoriel de type fini sur un corps \mathbf K, égal à \mathbb R ou à \mathbb C, et f un endomorphisme de E. On dit que f est diagonalisable s'il existe une base de E telle que la matrice de f par rapport à cette base soit diagonale.
Plus précisément, si n est la dimension de E, un endomorphisme f de E est diagonalisable si et seulement si il existe une base (v_1,v_2,\cdots,v_n) de E et des éléments de \mathbf K,\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n tels que la matrice associée à f dans la base (v_1,v_2,\cdots,v_n) soit la matrice diagonale \displaystyle{\left(\begin{array}{cccc}\lambda_1&0&\cdots&0\\0&\ddots&\ddots&\\\vdots&\ddots&\ddots&0\\0&\cdots&0&\lambda_n\end{array}\right)}
Remarque : Notation
Les scalaires \lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n ne sont pas nécessairement distincts.
Compte tenu de la définition de la matrice d'un endomorphisme par rapport à une base cela signifie que :
\forall i,1\leq i\leq n,f(v_i)=\lambda_iv_i
Les scalaires \lambda et les vecteurs v, liés par une relation de la forme f(v)=\lambda v, jouent donc manifestement un rôle important dans cette théorie. Cela nous conduit à la définition des notions de valeur propre et de vecteur propre.
Définition : Définition d'un vecteur propre
Soit E un espace vectoriel de type fini sur \mathbf K (\mathbf K=\mathbb R ou \mathbf K=\mathbb C) et f un endomorphisme de E.
Un vecteur v de E est appelé vecteur propre de f s'il vérifie les deux conditions :
v est non nul,
il existe un élément \lambda du corps des scalaires \mathbf K tel que f(v)=\lambda v.
Définition : Définition d'une valeur propre
Soit E un espace vectoriel de type fini sur \mathbf K (\mathbf K=\mathbb R ou \mathbf K=\mathbb C) et f un endomorphisme de E.
Un élément \lambda du corps des scalaires \mathbf K est appelé valeur propre de f s'il existe un vecteur v, non nul, tel que f(v)=\lambda v.
Attention :
un vecteur propre est non nul.
Remarque :
Une valeur propre est un élément du corps de base de l'espace vectoriel.
Vocabulaire
Soit v un vecteur non nul et \lambda un élément de \mathbf K tels que f(v)=\lambda v. On dit alors que v est un vecteur propre associé à la valeur propre \lambda ou que \lambda est une valeur propre associée au vecteur propre v.
Les deux notions de valeur propre et de vecteur propre sont donc étroitement liées.
Exemple :
Soit E un espace vectoriel réel de dimension 2 et (e_1,e_2) une base de E.
On considère l'endomorphisme f de E défini par f(e_1)=e_2, f(e_2)=e_2.
Il est immédiat que 1 est une valeur propre puisqu'il existe un vecteur non nul, à savoir e_2, tel que f(e_2)=1e_2. Le vecteur e_2 est un vecteur propre associée à la valeur propre 1.
On considère l'endomorphisme f de E défini par f(e_1)=e_2, f(e_2)=0.
Là aussi, il y a une valeur propre visible, c'est 0 et le vecteur e_2 est un vecteur propre associée à la valeur propre 0.
Remarque :
Dans ces deux exemples il y a une valeur propre visible mais l'existence d'autres valeurs propres n'a pas été étudiée.
Exemple :
On peut retrouver la situation précédente dans un exemple plus général.
Soit f un endomorphisme non injectif d'un \mathbf K-espace vectoriel E. Cela signifie que son noyau n'est pas réduit au vecteur nul, autrement dit qu'il existe un vecteur v non nul tel que f(v)=0_E=0_{\mathbf K}v. Ceci équivaut à dire que le scalaire 0_{\mathbf K} est une valeur propre pour f. Cet exemple, très important dans la pratique, est à retenir.
De plus, il conduit à une caractérisation des valeurs propres d'un endomorphisme avec pour conséquence un moyen effectif pour calculer ses valeurs propres.
En effet il y a une difficulté apparente : pour déterminer \lambda et v non nul tels que f(v)=\lambda v on a une relation et deux inconnues. Donc pour calculer les valeurs propres, il est nécessaire de caractériser ces deux notions indépendamment l'une de l'autre.