Définitions : endomorphisme diagonalisable, valeur propre, vecteur propre
Définition : Endomorphisme diagonalisable
Soit \(E\) un espace vectoriel de type fini sur un corps \(\mathbf K\), égal à \(\mathbb R\) ou à \(\mathbb C\), et \(f\) un endomorphisme de \(E\). On dit que \(f\) est diagonalisable s'il existe une base de \(E\) telle que la matrice de \(f\) par rapport à cette base soit diagonale.
Plus précisément, si \(n\) est la dimension de \(E\), un endomorphisme \(f\) de \(E\) est diagonalisable si et seulement si il existe une base \((v_1,v_2,\cdots,v_n)\) de \(E\) et des éléments de \(\mathbf K,\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\) tels que la matrice associée à \(f\) dans la base \((v_1,v_2,\cdots,v_n)\) soit la matrice diagonale \(\displaystyle{\left(\begin{array}{cccc}\lambda_1&0&\cdots&0\\0&\ddots&\ddots&\\\vdots&\ddots&\ddots&0\\0&\cdots&0&\lambda_n\end{array}\right)}\)
Remarque : Notation
Les scalaires \(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\) ne sont pas nécessairement distincts.
Compte tenu de la définition de la matrice d'un endomorphisme par rapport à une base cela signifie que :
\(\forall i,1\leq i\leq n,f(v_i)=\lambda_iv_i\)
Les scalaires \(\lambda\) et les vecteurs \(v\), liés par une relation de la forme \(f(v)=\lambda v\), jouent donc manifestement un rôle important dans cette théorie. Cela nous conduit à la définition des notions de valeur propre et de vecteur propre.
Définition : Définition d'un vecteur propre
Soit \(E\) un espace vectoriel de type fini sur \(\mathbf K\) (\(\mathbf K=\mathbb R\) ou \(\mathbf K=\mathbb C\)) et \(f\) un endomorphisme de \(E\).
Un vecteur \(v\) de \(E\) est appelé vecteur propre de \(f\) s'il vérifie les deux conditions :
\(v\) est non nul,
il existe un élément \(\lambda\) du corps des scalaires \(\mathbf K\) tel que \(f(v)=\lambda v\).
Définition : Définition d'une valeur propre
Soit \(E\) un espace vectoriel de type fini sur \(\mathbf K\) (\(\mathbf K=\mathbb R\) ou \(\mathbf K=\mathbb C\)) et \(f\) un endomorphisme de \(E\).
Un élément \(\lambda\) du corps des scalaires \(\mathbf K\) est appelé valeur propre de \(f\) s'il existe un vecteur \(v\), non nul, tel que \(f(v)=\lambda v\).
Attention :
un vecteur propre est non nul.
Remarque :
Une valeur propre est un élément du corps de base de l'espace vectoriel.
Vocabulaire
Soit \(v\) un vecteur non nul et \(\lambda\) un élément de \(\mathbf K\) tels que \(f(v)=\lambda v\). On dit alors que \(v\) est un vecteur propre associé à la valeur propre \(\lambda\) ou que \(\lambda\) est une valeur propre associée au vecteur propre \(v\).
Les deux notions de valeur propre et de vecteur propre sont donc étroitement liées.
Exemple :
Soit \(E\) un espace vectoriel réel de dimension \(2\) et \((e_1,e_2)\) une base de \(E\).
On considère l'endomorphisme \(f\) de \(E\) défini par \(f(e_1)=e_2, f(e_2)=e_2\).
Il est immédiat que \(1\) est une valeur propre puisqu'il existe un vecteur non nul, à savoir \(e_2\), tel que \(f(e_2)=1e_2\). Le vecteur \(e_2\) est un vecteur propre associée à la valeur propre \(1\).
On considère l'endomorphisme \(f\) de \(E\) défini par \(f(e_1)=e_2, f(e_2)=0\).
Là aussi, il y a une valeur propre visible, c'est \(0\) et le vecteur \(e_2\) est un vecteur propre associée à la valeur propre \(0\).
Remarque :
Dans ces deux exemples il y a une valeur propre visible mais l'existence d'autres valeurs propres n'a pas été étudiée.
Exemple :
On peut retrouver la situation précédente dans un exemple plus général.
Soit \(f\) un endomorphisme non injectif d'un \(\mathbf K\)-espace vectoriel \(E\). Cela signifie que son noyau n'est pas réduit au vecteur nul, autrement dit qu'il existe un vecteur \(v\) non nul tel que \(f(v)=0_E=0_{\mathbf K}v\). Ceci équivaut à dire que le scalaire \(0_{\mathbf K}\) est une valeur propre pour \(f\). Cet exemple, très important dans la pratique, est à retenir.
De plus, il conduit à une caractérisation des valeurs propres d'un endomorphisme avec pour conséquence un moyen effectif pour calculer ses valeurs propres.
En effet il y a une difficulté apparente : pour déterminer \(\lambda\) et \(v\) non nul tels que \(f(v)=\lambda v\) on a une relation et deux inconnues. Donc pour calculer les valeurs propres, il est nécessaire de caractériser ces deux notions indépendamment l'une de l'autre.