Caractérisation des valeurs propres
Soit \(f\) un endomorphisme d'un \(\mathbf K\)-espace vectoriel \(E\) de dimension finie égale à \(n\quad(n\ge 1)\).
\(\lambda\) est une valeur propre de \(f\) si et seulement si :
\(\lambda\in\mathbf K\) et \(\exists v\in E,v\neq0 \textrm{ tel que }f(v)=\lambda v\).
Or la propriété \(\exists v\in E,v\neq0\textrm{ tel que } f(v)=\lambda v\) équivaut à la propriété \(\exists v\in E,v\neq0\textrm{ tel que }f(v)-\lambda v=0\)
Donc \(\lambda\) est une valeur propre de \(f\) si et seulement si :
\(\lambda\in\mathbf K\) et \(\exists v\in E,v\neq0 \textrm { tel que }(f-\lambda Id_E)(v)=0\).
Ce qui équivaut à : \(\lambda\in\mathbf K\) et \(\textrm{ Ker }(f-\lambda Id_E)\neq\{0\}\).
L'intérêt de ce résultat est que \(v\) n'apparaît plus dans la formule et que l'on a réussi à disjoindre \(\lambda\) et \(v\).
Ce résultat peut encore être amélioré en utilisant la caractérisation d'un endomorphisme non injectif dans un espace de type fini, de dimension \(n\).
En effet on a les équivalences suivantes :
\(\textrm{ Ker }(f-\lambda Id_E)\neq\{0\}\Leftrightarrow\) rang \((f-\lambda Id_E) < n\Leftrightarrow\) det \((f-\lambda Id_E)=0\)
D'où la propriété :
Propriété : Caractérisation d'une valeur propre
Un élément \(\lambda\) du corps de base \(\mathbf K\) de l'espace vectoriel est une valeur propre de \(f\) si et seulement si det \((f-\lambda Id_E)=0\).
Cette propriété donne donc un procédé pratique pour déterminer les valeurs propres d'un endomorphisme.
Exemple :
Soit \(f\) l'endomorphisme de \(\mathbb R^2\) défini par \(f(e_1)=2e_1+e_2,f(e_2)=e_1+2e_2\), où \((e_1,e_2)\) désigne la base canonique de \(\mathbb R^2\).
Pour déterminer ses valeurs propres il faut, d'après la caractérisation précédente, chercher les éléments \(\lambda\) de \(\mathbb R\), tels que det\((f-\lambda Id_E)=0\). Pour cela il est naturel d'écrire la matrice \(A\) associée à \(f\) dans la base canonique et de calculer det\((A-\lambda I_2)\) qui est égal à det \((f-\lambda Id_E)\).
On a \(A=\left(\begin{array}{cccccc}2&1\\1&2\end{array}\right)\) et par conséquent det \((A-\lambda I_2)=\left|\begin{array}{cccccc}2-\lambda&1\\1\textrm{ }&2-\lambda\end{array}\right|\).
Donc det\((A-\lambda I_2)=(\lambda-1)(\lambda-3)\).
Les réels \(1\) et \(3\) sont donc les valeurs propres de \(f\).
Exemple :
Soit \(g\) l'endomorphisme de \(\mathbb R^2\) défini par \(g(e_1)=e_1+e_2,g(e_2)=-e_1+e_2\) , où \((e_1,e_2)\) désigne la base canonique de \(\mathbb R^2\).
De même que précédemment, on écrit la matrice \(B\) associée à \(g\) dans la base canonique et on calcule det \((B-\lambda I_2)\).
On a \(B=\left(\begin{array}{cc}1&-1\\1&1\end{array}\right)\)
et par conséquent
det\((B-\lambda I_2)=\left|\begin{array}{cc}1-\lambda&-1\\1\textrm{ }&1-\lambda\end{array}\right|=\lambda^2-2\lambda+2\).
Or il n'y a pas de réels \(\lambda\) tels que \(\lambda^2-2\lambda+2\) soit nul (le discriminant du trinôme est strictement négatif). Donc l'endomorphisme \(g\) n'admet pas de valeurs propres.
Exemple :
Soit \(h\) l'endomorphisme de \(\mathbb R^3\) défini par \(h(e_1)=e_1,h(e_2)=e_3,h(e_3)=-e_2\) où \((e_1,e_2,e_3)\) désigne la base canonique de \(\mathbb R^3\).
De même que précédemment, on écrit la matrice \(C\) associée à \(h\) dans la base canonique et on calcule det \((C-\lambda I_3)\).
On a \(C=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{array}\right)\) et par conséquent
det\((C-\lambda I_3)=\left|\begin{array}{ccc}1-\lambda&0&0\\0&-\lambda&-1\\0&1&-\lambda\end{array}\right|=-(\lambda-1)(\lambda^2+1)\)
La seule valeur réelle de \(\lambda\) annulant det\((C-\lambda I_3)\) est \(\lambda=1\) .
Donc \(h\) a une seule valeur propre qui est \(1\).