Caractérisation des valeurs propres d'un endomorphisme à l'aide du polynôme caractéristique
Le théorème suivant est une conséquence immédiate de ce qui a été vu précédemment.
Théorème : Valeurs propres et polynôme caractéristique
Soit \(f\) un endomorphisme d'un \(\mathbf K\)- espace vectoriel \(E\) de type fini. Un élément \(\lambda\) de \(\mathbf K\) est valeur propre de \(f\) si et seulement si il est racine du polynôme caractéristique de \(f\).
Définition : Racine d'un polynôme
Soit \(P\) un polynôme à coefficients dans \(\mathbf K\) où \(\mathbf K\) est égal à \(\mathbb R\) ou à \(\mathbb C\). On dit qu'un élément \(a\) de \(\mathbf K\) est une racine de \(P\) si \(P(a)=0\).
Attention :
L'existence et le nombre de valeurs propres d'un endomorphisme dépendent essentiellement du corps de base de l'espace vectoriel. Si l'on considère par exemple le troisième exemple, le polynôme \(P_{\textrm{car},h}(X)=(1-X)(X^2+1)\) a une seule racine réelle, qui est donc la seule valeur propre de \(h\). Mais si on le considère comme un polynôme à coefficients complexes, il a trois racines qui sont \(1,i,-i\).
Conséquence importante
il découle immédiatement de cette remarque qu'un endomorphisme d'un espace vectoriel complexe (c'est-à-dire dont le corps de base est \(\mathbb C\)) admet toujours des valeurs propres (puisque un polynôme à coefficients dans \(\mathbb C\) a toujours des racines d'après le théorème de D'Alembert-Gauss) alors qu'un endomorphisme d'un espace vectoriel réel peut ne pas avoir de valeurs propres (l'endomorphisme \(g\) des exemples précédents n'a pas de valeur propre).
Remarque : Remarque sur la définition du polynôme caractéristique
On trouve aussi dans la littérature mathématique det\((XI_n-A)\) comme définition du polynôme caractéristique. L'avantage de cette autre définition est d'avoir un polynôme unitaire, l'inconvénient en est une source supplémentaire d'erreurs de calculs.
Or, d'une part d'après les propriétés de déterminants, on a :
det\((A-XI_n)=(-1)^n\) det\((XI_n-A)\).
D'autre part, seules nous intéressent les racines du polynôme caractéristique ainsi que leur ordre de multiplicité (cela sera vu plus loin).
Ces propriétés sont évidemment les mêmes que l'on prenne \(\textrm{det}(XI_n-A)\) ou \(\textrm{det}(A-XI_n)\), ces deux polynômes ne différant que par une constante multiplicative non nulle.