Polynôme caractéristique
On a donc vu apparaître naturellement l'expression det \((f-\lambda Id_E)\). Elle va être étudiée plus précisément en introduisant le vocabulaire des polynômes.
Soit \(\lambda\) un élément du corps de base \(\mathbf K\). Pour calculer le déterminant de l'endomorphisme de \(E,f-\lambda Id_E\), il est nécessaire (c'est illustré par les exemples précédents) d'introduire la matrice associée à \(f\) par rapport à une base de \(E\). Soit donc \(B\) une base de \(E\) et \(A\) la matrice associée à \(f\) par rapport à cette base. Alors la matrice associée à \(f-\lambda Id_E\) est \(A-\lambda I_n\) et par conséquent
det\((f-\lambda Id_E)=\)det\((A-\lambda I_n)\). Si \(A=(a_{i,j})_{\begin{array}{cccccc}1\leq j\leq n\\1\leq j\leq n\end{array}}\), on a :
det\((f-\lambda Id_E)=\)det\((A-\lambda I_n)=\left|\begin{array}{cccc}a_{1,1}-\lambda&a_{1,2}&\cdots&a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}-\lambda&&\vdots\\\vdots&&\ddots&\vdots\\a_{n,1}&\cdots&\cdots&a_{n,n}-\lambda\end{array}\right|\)
L'expression explicite de ce déterminant prouve que c'est une expression polynômiale en \(\lambda\), de degré \(n\), dont le coefficient du terme de plus haut degré est égal à \((-1)^n\).
Si \(A'\) est la matrice associée à \(f\) par rapport à une autre base \(B'\) de \(E\), les matrices \(A\) et \(A'\) sont semblables, donc aussi les matrices \(A-\lambda I_n\) et \(A'-\lambda I_n\) ; elles ont donc même déterminant. Donc l'expression det\((A-\lambda I_n)\) ne dépend que de \(f\) et non pas du choix de la base de \(E\) et de la matrice qui lui est associée dans cette base.
Comme le corps considéré est \(\mathbb R\) ou \(\mathbb C\), il est infini et l'on sait qu'il y a un unique polynôme à coefficients dans \(\mathbf K\), associé à la fonction polynôme \(\lambda\mapsto\) det \((A-\lambda I_n)\). On le note det\((A-XI_n)\).
Plus précisément, si
det\((A-\lambda I_n)=(-1)^n\lambda^n+\alpha_{n-1}\lambda^{n-1}+\cdots+\alpha_0\), on a
det\((A-XI_n)=(-1)^nX^n+\alpha_{n-1}X^{n-1}+\cdots+\alpha_0\) .
Remarque :
Les étudiants qui ne connaissent pas la théorie des polynômes peuvent l'admettre aisément ; tout fonctionne ici, pour les polynômes, comme pour les fonctions polynômes qui sont bien connues.
De plus la notation det \((A-XI_n)\) est en fait tout à fait justifiable : en effet la théorie des déterminants des matrices à coefficients dans un corps se généralise aux matrices à coefficients dans un anneau commutatif (de caractéristique différente de 2) par exemple l'anneau des polynômes à coefficients dans un corps \(\mathbf K\) (\(\mathbb R\) ou \(\mathbb C\) ici). Il n'y a donc aucun inconvénient à écrire
det \((f-XId_E)=\)det \((A-XI_n)=\left|\begin{array}{cccc}a_{1,1}-X&a_{1,2}&\cdots&a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}-X&&\vdots\\\vdots &&\ddots&\vdots\\a_{n,1}&\cdots&\cdots&a_{n,n}-X\end{array}\right|\)
Dans cette première ressource sur la diagonalisation des endomorphismes, il n'y a aucune difficulté théorique de ce point de vue et l'utilisation de ces propriétés et notations ne pose aucun problème.
On peut donc donner la définition suivante :
Définition : Polynôme caractéristique
Soit \(f\) un endomorphisme d'un \(\mathbf K\)-espace vectoriel \(E\) de dimension \(n\), entier supérieur ou égal à \(1\) (\(\mathbf K\) est égal à \(\mathbb R\) ou \(\mathbb C\)) et \(A\) la matrice associée à \(f\) par rapport à une base de \(E\).
Le polynôme det \((f-XId_E)\) qui est égal à det \((A-XI_n)\) est appelé polynôme caractéristique de \(f\) et est noté \(P_{{car},f}(X)\).
\(P_{{car},f}(X)=\)det \((f-XId_E)=\)det \((A-XI_n)\)
C'est un polynôme à coefficients dans \(\mathbf K\), de degré \(n\), dont le coefficient dominant est \((-1)^n\).
Exemple :
Si l'on reprend les exemples précédents, il vient :
\(P_{{car},f}(X)=(1-X)(3-X)\)
\(P_{{car},g}(X)=X^2-2X+2\)
\(P_{{car},h}(X)=(1-X)(X^2+1)\)
Il est immédiat que \(P_{{car},Id_{\mathbb R^2}}(X)=(X-1)^2\)