Séries numériques - Cours

Le nombre e.

Le nombre \(e\) est la somme de la série de terme général \(\frac{1}{n!}(n\geq 0)\). Pour tout \(n\geq 1\), on a l'encadrement :

\(1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\ldots+\frac{1}{n!}<e<1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\ldots+\frac{1}{n!}+\frac{1}{n n!}\).

L'erreur commise en remplaçant \(e\) par \(\displaystyle{\sum_{k=0}^n}\frac{1}{k!}\) conduit à une valeur approchée de \(e\) avec une erreur inférieure à \(\frac{1}{n.n!}\): la série converge vite.

Ainsi, on a :

• pour \(n = 5\) : \(2,716 667 < e < 2,718 333\),

• pour \(n = 10\) : \(2,718 281 82 < e < 2,718 281 83\).

Le nombre \(\pi\)

Le nombre \(\pi\) est le nombre transcendant le plus célèbre. Défini à partir de considérations géométriques simples, il est utilisé comme tel, sinon vraiment connu, depuis l'Antiquité. Pour obtenir une valeur approchée de \(\pi\), une méthode consiste à lui associer une série dont la somme est \(\pi\). La convergence plus ou moins rapide de la série donne pour \( \)une valeur approchée plus ou moins bonne pour un nombre de termes calculés.

De nombreuses formules expriment \(\pi\) comme somme de série, citons-en quelques unes :

(1) \(\forall x\in]0,\pi[,\pi=4\displaystyle{\sum_{p=0}^{+\infty}}\frac{\sin(2p+1)x}{2p+1}\)

(formule obtenue dans l'étude des séries de Fourier),

(2) \(\pi=4\left(1-\displaystyle{\sum_{n=1}^{+\infty}}\frac{C_{2n}^n}{2^{2n}(4n^2-1)}\right)\)

(formule obtenue dans l'étude des séries entières),

(3) \(\pi=\displaystyle{\sum_{n=0}^{+\infty}}\frac{(-1)^n}{2n+1}\left(\frac{16}{5^{2n+1}}-\frac{4}{239^{2n+1}}\right)\)

(il s'agit de la traduction en termes de série entières de la formule de Machin : \(\frac\pi4=4\arctan\frac15-\arctan\frac{1}{239}\)),

(4) \(\pi=\displaystyle{\sum_{n=0}^{+\infty}}\frac{1}{16^n}\left(\frac{4}{8n+1}-\frac{2}{8n+4}-\frac{1}{8n+5}-\frac{1}{8n+6}\right)\)

(formule de Plouffe, voir un devoir "de synthèse" dans la partie s'exercer du module intégration).

Le choix de ces formules tient au fait que les séries qui interviennent se comportent très différemment du point de vue de la convergence. La première série est semi-convergente, donc de convergence très lente. La seconde a une convergence moyenne en \(\frac{1}{n^{\frac{s}{2}}}\). La troisième a une convergence rapide, convergence géométrique de raison \(\frac15\) et la dernière une convergence rapide, géométrique de raison \(\frac{1}{16}.\) Il est clair que, pour calculer une valeur approchée de \(\pi\), il vaut mieux utiliser l'une des deux dernières séries.

Développement décimal illimité d'un nombre réel.

De façon générale, rappelons que, si \(x\) est un nombre réel

• la partie entière de \(x\), \(E(x)\), est le plus grand entier inférieur ou égal à \(x\), c'est-à-dire l'unique réel vérifiant :

  \(E(x)\in Z\) et \(E(x)\leq x<E(x)+1\),

• pour tout entier naturel \(n\), l'approximation décimale (par défaut) d'ordre \(n\) de \(x\), \(x_n\), est le plus grand rationnel qui peut s'écrire sous la forme \(\frac{m}{10^n}\) avec \(m\) entier, et qui est inférieur ou égal à \(x\), c'est-à-dire l'unique nombre décimal vérifiant :

  \(10^nx_n\in Z\) et \(x_n\leq x<x_n+10^{-n}\).

L'approximation décimale d'ordre \(n\) de \(x\), \(x_n\) s'écrit sous la forme :

\(x_n=E(x)+0,d_1d_2\ldots d_n\)avec \(E(x)\in Z\) et \(\forall k\in \{1,2,\ldots,n\},0\leq d_k\leq 9\), soit encore,

\(x_n=E(x)+\frac{d_1}{10}+\frac{d_2}{10^2}+\ldots+\frac{d_n}{10^n}\).

Ainsi, pour un réel \(x\), la série de terme général \(u_n\), définie par

\(u_0=E(x)\) et \(\forall n\geq 1, u_n=d_n 10^{-n}\),

admet, comme somme partielle d'ordre \(n\), \(x_n\) qui vérifie \(0\leq x-x_n<10^{-n}\).

La série \(\sum u_n\) ainsi définie, est donc convergente et sa somme est \(x\). Cette série s'appelle développement décimal illimité de \(x\). On écrit

\(x=E(x),d_1d_2\ldots d_n\ldots\)

Cette notation signifie : \(x=E(x)+\displaystyle{\sum_{n=1}^{+\infty}}\frac{d_n}{10^n}\).

Remarque

A priori, 1 admet comme développement décimal illimité 1 (tous les entiers \(d_n\) sont nuls), mais on a aussi, avec les notations précédentes, \(1=0,999999\ldots\). Une telle situation se présente pour tous les nombres décimaux qui peuvent alors s'écrire :

\(d=E(d),d_1d_2\ldots d_n\) ou \(d=E(d),d_1d_2\ldots(d_n-1)99999\ldots\).

Il n'y a pas, pour les nombres décimaux, unicité du développement décimal illimité.

On fera simple, on continuera à écrire 1 !