Série à convergence géométrique

Une série \(\sum u_n\), dont la série des valeurs absolues (ou des modules) \(\sum|u_n|\) satisfait aux conditions d'application de la règle de Cauchy ou de la règle de d'Alembert, est une série dont la convergence est comparable à une série géométrique. On a, pour une telle série, à partir d'un certain rang, \(0\leq |u_n|\leq k^n\) avec \(0\leq k<1\) et donc

\(0\leq |r_n|\leq k^{n+1}+k^{n+2}+\ldots\) soit \(0\leq |r_n|\leq \frac{k^{n+1}}{1-k}\).

Série vérifiant la condition \(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}\sqrt[n]{|u_n|}}=L<1\) (règle de Cauchy)

Soit \(\sum u_n\) une série dont la série des valeurs absolues vérifie \(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}\sqrt[n]{|u_n|}}=L<1\). Plus \(L\) est petit, plus la convergence est rapide. Il existe un rang \(n_0\) et un réel \(0<k<1\) tels qu'on ait, pour \(n\geq n_0\), \(0\leq|u_n|\leq k^n\) et on a alors \(0\leq|r_n|\leq\frac{k^{n+1}}{1-k}\).

Exemple

On considère la série de terme général \(u_n=\frac{1}{n^n}(n\geq 1)\). On a \(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow +\infty}}u^{\frac1n}_n=0\). Il s'agit donc d'une série dont la convergence est très rapide (la convergence de la série est plus rapide que celle de toute série géométrique).

On a, pour tout entier \(n\) strictement positif :

\(r_n\leq\displaystyle{\sum_{p=n+1}^{+\infty}}\frac{1}{(n+1)^p}=\frac{1}{(n+1)^{n+1}}\frac{1}{1-\frac{1}{n+1}}=\frac{1}{n(n+1)^n}\)

Soit pour \(n=4,r_n<4.10^{-4}\).

Série vérifiant la condition \(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}}|\frac{u_{n+1}}{u_n}|=L<1\) (règle de d'Alembert)

Soit \(\sum u_n\) une série dont la série des valeurs absolues vérifie \(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}}|\frac{u_{n+1}}{u_n}|=L<1\). Plus \(L\) est petit, plus la convergence est rapide. Il existe un rang \(n_0\) et un réel \(0<k<1\) tels qu'on ait, pour \(n\leq n_0\): \(0<|\frac{u_{n+1}}{u_n}|\leq k\) et on a alors \(0\leq |r_n|\leq\frac{k^{n+1}}{1-k}\).

Pour tous \(n\geq n_0\) et \(p\geq 1\), on a par une récurrence immédiate :

\(|u_{n+p}|\leq k|u_{n+p-1}|\leq k^2|u_{n+p-2}|\leq\ldots\leq k^{p-1}|u_{n+1}|\leq k^p|u_n|\).

La majoration du reste qu'on déduit est la suivante : \(\forall n\geq n_0, |r_n|\leq \frac{k}{1-k}|u_n|\).

Exemple

On considère la série de terme général \(u_n=\frac{n}{n+4^n}\). On a \(\frac{u_{n+1}}{u_n}=\left(\frac{n+1}{n}\right)\left(\frac{4^n+n}{4^{n+1}+n+1}\right)\begin{array}{c}\sim\\_{n\rightarrow+\infty}\end{array}\frac14\), d'où \(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac14\). La série est donc convergente d'après la règle de d'Alembert.

On a, par exemple, pour \(n\) assez grand : \(\frac{u_{n+1}}{u_n}<0,4\) et donc \(0<r_n\leq\frac{0,4}{1-0,4}u_n\leq\frac23u_n\).

Ainsi on montre, par une simple étude de fonction, que pour tout \(n\geq 5\), on a \(\frac{u_{n+1}}{u_n}<0,4\) et donc \(0<r_n<0,01\). On en déduit l'encadrement :

\(\displaystyle{\sum_{n=1}^5}\frac{n}{n+4^n}<\displaystyle{\sum_{n=1}^{+\infty}}\frac{n}{n+4^n}<\displaystyle{\sum_{n=1}^5}\frac{n}{n+4^n}+0,01\), soit \(0,376<\displaystyle{\sum_{n=1}^{+\infty}}\frac{n}{n+4^n}<0,387\)

ou encore \(0,37<\displaystyle{\sum_{n=1}^{+\infty}}\frac{n}{n+4^n}<0,39\)