Série comparable à une intégrale impropre
Rappelons le théorème concernant les intégrales impropres et les séries dans le cas d'une fonction décroissante.
Théorème :
Soit \(f\) une application positive décroissante définie sur \([a,+\infty[\). L'intégrale \(\int_a^{+\infty}f(t)dt\) est convergente si et seulement si la série \(\sum f(n)\) est convergente.
Cette règle s'applique par exemple aux séries de Riemann, qui correspondent aux fonctions \(x\mapsto\frac{1}{x^s}\) définies sur \(]0,+\infty[\); la comparaison avec une intégrale va conduire à une majoration commode du reste.
Pour illustrer la démonstration, on peut reprendre l'animation faite dans le cas des séries de Riemann (notations un peu différentes : \(u_n=f(n)\)).
On suppose les hypothèses du théorème vérifiées et la série convergente.
Pour tout entier \(k\) supérieur ou égal à 1, on a, sur l'intervalle \([k,k+1]\):
\(f(k+1)\leq\int_k^{k+1}f(t)dt\leq f(k)\).
Pour tous les entiers \(n\geq 1\) et \(p\geq 1\), on obtient, en additionnant les inégalités ci-dessus pour \(k\in \{n+1,\ldots,n+p\}\) d'une part, et \(k\in \{n,\ldots,n+p-1\}\) d'autre part,
\(\displaystyle{\sum_{i=2}^{p+1}}f(n+i)\leq \int_{n+1}^{n+p+1}f(t)dt\leq\displaystyle{\sum_{i=1}^{p}}f(n+i)\leq\int_n^{n+p}f(t)dt\).
En faisant tendre \(p\) vers l'infini, on obtient : \(\int_{n+1}^{+\infty}f(t)dt\leq r_n\leq \int_n^{+\infty}f(t)dt\).
Ainsi, en supposant \(a\) entier, si \(s=\displaystyle{\sum_{k=a}^{+\infty}}f(k)\), on pose
\(\sigma_n=\displaystyle{\sum_{k=a}^n}f(k)+\int_{n+1}^{+\infty}f(t)dt=s-r_n+\int_{n+1}^{+\infty}f(t)dt\).
Alors \(\sigma_n\) est une valeur approchée de \(s\) qui vérifie : \(0\leq s-\sigma_n\leq \int_{n}^{n+1}f(t)dt\).
Exemple :
série de Riemann \(\sum\frac{1}{n^2}(n\geq1)\).
On considère la série de Riemann \(\sum\frac{1}{n^2}(n\geq1)\). Vous avez déjà rencontré cette série et vous la rencontrerez encore, vous calculerez plusieurs fois sa somme exacte \(\frac{\pi^2}{6}\). En prenant dix termes par exemple, une valeur approchée de \(\displaystyle{\sum_{n=1}^{+\infty}}\frac{1}{n^2}\)est :
\(\sigma_{10}=1+\frac14+\frac19+\ldots+\frac{1}{100}+\int_{11}^{+\infty}\frac{dt}{t^2}\)
\(\sigma_{10}\leq s-\sigma_{10}\leq \int_{10}^{11}\frac{dt}{t^2}=\frac{1}{110}\).
On peut en déduire une valeur approchée de \(\frac{\pi^2}{6}\) ici \(1,640 675 8\). Mais la convergence de la série est lente, aussi l'approximation est médiocre. L'approximation décimale d'ordre 7 donnée par une calculatrice pour \(\frac{\pi^2}{6}\) est \(1,644 934 1\). La différence est de l'ordre de 4.10-3, elle est effectivement inférieure à \(\frac{1}{110}\).