Séries numériques - Cours

On connaît la somme exacte d'une série géométrique. En effet, si \(z\) est un nombre complexe, de module strictement inférieur à 1, on a : \(\displaystyle{\sum_{n=0}^{+\infty}}z^n=\frac{1}{1-z}\).

Diverses méthodes artisanales permettent de calculer, dans certains cas, la somme d'une série, par exemple quand le terme général s'écrit sous la forme \(u_n=\rho(n)-\rho(n-1)\), où \(\rho\) est une fonction numérique. On a, dans ce cas, \(s_n=\rho(n)-\rho(0)\). Alors, si la fonction \(\rho\) a une limite en \(+\infty\), la série \(\sum u_n\) est convergente et \(\displaystyle{\sum_{n=0}^{+\infty}}u_n=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}}\rho(n)-\rho(0)\).

Un des cas les plus simples peut être donné par l'étude de la série de terme général \(\frac{1}{n(n+1)},(n\geq 1)\).

On a en effet, en décomposant la fraction rationnelle, \(\frac{1}{n(n+1)}=\frac1n-\frac{1}{n+1}\), d'où : \(s_n=1-\frac{1}{n+1}\) et donc \(\displaystyle{\sum_{n=1}^{+\infty}}\frac{1}{n(n+1)}=1\).