Série satisfaisant aux hypothèses du théorème des séries alternées
Il s'agit du cas le plus simple ; en effet, le reste \(r_n\) est du signe de \(u_{n+1}\) et vérifie, pour tout entier \(n\), \(|r_n|\leq|u_{n+1}|\). Les suites partielles d'ordre pair et impair fournissent un encadrement de \(s\).
Exemples
Exemple : a
Série harmonique alternée
Attention, on doit écrire le terme général sous la forme : \(\frac{(-1)^n}{n+1}(n\geq 0)\), pour que l'encadrement soit correct. Il s'agit d'une série dont la convergence est très lente et pour avoir \(|r_n|\leq 10^{-2}\) il faut prendre 100 termes. On se borne ici à déterminer une valeur approchée à \(\frac{1}{10}\) près. En calculant une valeur approchée par excès de \(s_n=\displaystyle{\sum_{k=0}^{10}}\frac{(-1)^k}{k+1}\), et une valeur approchée par défaut de \(s_{11}=\displaystyle{\sum_{k=0}^{11}}\frac{(-1)^k}{k+1}\), on a :
\(s_{10}<0,74\) et \(s_{11}>0,65\), d'où \(0,65<s<0,74\).
On connaît ainsi \(s\) à \(\frac{1}{10}\) près.
On aura (et on a déjà eu en utilisant la formule de Taylor-Lagrange entre 0 et 1) l'occasion de montrer que \(s\) vaut \(ln2\) ; il existe des procédés de calcul plus rapides par exemple en utilisant les séries entières.
Exemple : b
Série de terme générale \((-1)^n\frac{a^{2n+1}}{2n+1}\textrm{ avec }-1\leq a\leq 1\)
On considère la série de terme général \((-1)^n\frac{a^{2n+1}}{2n+1}\) avec \(-1\leq a\leq 1\). Il s'agit d'une série qui satisfait aux hypothèses du théorème des séries alternées mais, si a est de valeur absolue strictement inférieure à 1, la série est absolument convergente et on déduit sa convergence par exemple par comparaison à la série géométrique de raison \(|a|\).
En revanche, pour \(a=1\) ou \(a=-1\), la série n'est pas absolument convergente et son étude relève du théorème des séries alternées.
Dans tous les cas, on obtient la majoration du reste à partir du théorème des séries alternées.
Pour \(a=\frac14\), la convergence est très rapide. On a \(|r_0|\leq|u_1|=\frac{1}{3.4^3}<0,6.10^{-2}\) et donc : \(\forall n\geq 0, |r_n|<10^{-2}\). Plus précisément
\(\frac14-\frac{1}{3.4^3}<\displaystyle{\sum_{n=0}^{+\infty}}\frac{1}{(2n+1)4^{2n+1}}<\frac14\),
soit encore \(0,244<\displaystyle{\sum_{n=0}^{+\infty}}\frac{1}{(2n+1)4^{2n+1}}<0,25\).
Pour \(a=1\), la convergence est très lente et pour avoir la somme à \(10^{-2} \)près il faut au moins 50 termes.
On retrouvera cette série qui est le développement en série entière de la fonction arctan. En particulier pour \(a=1\), on a : \(\displaystyle{\sum_{n=0}^{+\infty}}\frac{(-1)^n}{2n-1}=\arctan1=\frac\pi4\). Comme la convergence est très lente, ce n'est pas une bonne méthode de calcul de \(\pi\).