La série numérique \(\displaystyle \left( \sum_{n \geqslant 1}\frac{1}{n( |x_0 - n| + 1)} \right) \) étant à termes positifs, on peut utiliser les équivalents :
Soit \(x_0 \in \mathbb{R}\) fixé et \(n_0 = E(x_0) + 1\) . Pour tout n\( \in \mathbb{N}\) , n \(\geqslant n_0 , |x_0- n|= n- x_0\) .
Pour n\( \geqslant n_0 , \frac{1}{n( |x_0- n| + 1)}= \frac{1}{n^2 + n(1 - x_0)}\)
\(\begin{array}{ccc}&&\\fn(x_0) &\thicksim& \frac{1}{n^2}\\&+\infty&\end{array}\). Or la série numérique \(\left( \displaystyle \sum_{n \geqslant 1} \frac{1}{n^2}\right)\) est convergente.
Pour tout\( x_0 \in \mathbb{R}\) , \(\left( \displaystyle \sum_{n \geqslant 1} \frac{1}{n( |x_0 - n | + 1}\right)\) est convergente.
La série de fonctions \(\left( \displaystyle \sum_{n \geqslant 1} \frac{1}{n( |x - n | + 1}\right)\) converge simplement sur \(\mathbb{R}\) .