Exercice 7 [Séries de fonctions]

Exercice 7

Partie

Question

Étudier la convergence simple sur [0, $+\infty$ [ de la série de fonctions $\displaystyle \left( \sum_{n \geqslant 1} f_n \right)$ définies par :

$f_n(x)= \frac{x}{[(n - 1)x + 1](nx + 1)}$

et déterminer la somme S de cette série de fonctions sur son domaine de convergence simple.

Aide simple

Penser au cas x = 0 .

Pour $x \neq 0$ , écrire $f_n($

Solution détaillée

Si x = 0 , $f_n(0) = 0$ pour tout n donc la série numérique $\displaystyle \left( \sum f_n(0) \right)$ converge vers 0.
Pour x $\neq$ 0 , on peut remarquer que x = (nx + 1) - [(n - 1)x + 1] : $f_n(x) = \frac{1}{[(n - 1)x + 1]} - \frac{1}{(nx + 1)}$

Les sommes partielles $S_n(x) = \displaystyle \sum_{k=1}^n f_k(x) = 1 - \frac{1}{(nx + 1)}$ convergent vers 1 quand n tend vers $+\infty$ pour x fixé dans ]0, $+\infty$ [ .

La série de fonctions $\left( \displaystyle \sum_{n \geqslant 1} \frac{x}{[(n - 1)x + 1](nx + 1)} \right)$ converge simplement sur [0, $+\infty$ [ vers la fonction S définie par : $\begin{array}{cc} {S(x) = 1}&\textrm{si } x>0\\ S(0) =0 & \end{array}$