Exercice 7
Partie
Question
Étudier la convergence simple sur [0,\(+\infty\) [ de la série de fonctions \(\displaystyle \left( \sum_{n \geqslant 1} f_n \right)\) définies par :
\(f_n(x)= \frac{x}{[(n - 1)x + 1](nx + 1)}\)
et déterminer la somme S de cette série de fonctions sur son domaine de convergence simple.
Aide simple
Penser au cas x = 0 .
Pour \(x \neq 0\) , écrire \(f_n(\)
Solution détaillée
Si x = 0 ,\( f_n(0) = 0\) pour tout n donc la série numérique \(\displaystyle \left( \sum f_n(0) \right)\)converge vers 0.
Pour x \(\neq\) 0 , on peut remarquer que x = (nx + 1) - [(n - 1)x + 1] :\( f_n(x) = \frac{1}{[(n - 1)x + 1]} - \frac{1}{(nx + 1)}\)
Les sommes partielles \(S_n(x) = \displaystyle \sum_{k=1}^n f_k(x) = 1 - \frac{1}{(nx + 1)}\) convergent vers 1 quand n tend vers \(+\infty\) pour x fixé dans ]0,\(+\infty\) [ .
La série de fonctions\(\left( \displaystyle \sum_{n \geqslant 1} \frac{x}{[(n - 1)x + 1](nx + 1)} \right)\) converge simplement sur [0,\(+\infty\) [ vers la fonction S définie par : \(\begin{array}{cc} {S(x) = 1}&\textrm{si } x>0\\ S(0) =0 & \end{array}\)