Exercice 3
Partie
Question
Déterminer le domaine de convergence simple et déterminer la somme de la série de fonctions \(\displaystyle \left( \sum_{n \geqslant 1} f_n \right) \) définies par :
\(\left \{ \begin{array}{cc} f_1(x)=x& \\ f_n(x) = x \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} \right)& \textrm{pour } n \geqslant 2\end{array} \right.\)
Aide simple
Calculer la limite des sommes partielles.
Solution détaillée
Soit x \(\in \mathbb{R}\) ,
\(S_n(x) = \displaystyle \sum_{k=1}^n f_k(x) = x + \frac{x}{2} - \frac{x}{3} + \frac{x}{3} - ... - \frac{x}{n} + \frac{x}{n} - \frac{x}{n + 1} = \frac{3}{2}x - \frac{x}{n + 1}\)
D'où \(\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty } S_n(x) = \frac{3}{2}x = \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} f_n(x) \).
La série \(\displaystyle \left( \sum_{n \geqslant 1} f_n \right) \) converge simplement sur \(\mathbb{R}\) vers la fonction \( f : x \longmapsto \frac{3}{2}x \) .