Pour n \in \mathbb{N} - {0} fixé, la fonction f_n prend la valeur \frac{1}{n} sur [n,n + 1[ et 0 ailleurs.
Soit x_0 fixé dans \mathbb{R} :
Si x_0 < 1 : pour tout n \in \mathbb{N} \ {0} , x_0 \notin [n,n + 1[ donc f_n(x_0) = 0 . \displaystyle \sum_{k=1}^n f_k(x_0)= 0 et la série converge vers 0.
Si x_0 \geqslant 1 , il existe n_0 \in \mathbb{N} \ {0} , (n_0 = E(x_0) ), f_{n_0} (x_0) = \frac{1}{n_0} ;
pour k \in \mathbb{N}, k \neq n_0, f_k(x_0) = 0 .
Pour n \geqslant n_0, S_n(x_0) = \displaystyle \sum_{k=1}^n f_k(x_0) = f_{n_0}(x_0) = \frac{1}{n_0}
\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty } S_n(x_0) = \frac{1}{n_0} = \frac{1}{E(x_0)}
La série converge simplement sur \mathbb{R} vers la fonction :
\begin{array}{ccc}&&\\f(x)=0 & \textrm{si } x<1\\f(x) = \frac{1}{E(x)}& \textrm{pour } x \geqslant 1\end{array}