Exercice 6
Partie
Question
Déterminer le domaine de convergence simple de la série de fonctions \(\displaystyle \left( \sum f_n \right)\)définies par :
\(f_n(x ) = \frac{1}{2^{nx}}.\)
Aide simple
Penser aux séries géométriques.
Solution détaillée
Pour \(x_0 \in \mathbb{R}\), c'est une série géométrique de raison \(\frac{1}{2^{x_0}}\)
Or \(2^{x_0}= e^{x_0ln(2)}\) > 0 .
Cette série numérique converge si et seulement si\( \frac{1}{2^{x_0}}\) < 1 , soit :
\(\frac{1}{ e^{x_0ln(2)}}\) < 1 \(\Longleftrightarrow\) \(x_0\) ln(2) > 0 \(\Longleftrightarrow x_0\)> 0.
Pour x > 0 fixé, \(S(x) = \frac{1}{1 - \frac{1}{2^x}} = \frac{2^x}{2^x - 1}\)
La série de fonctions\( \left( \sum \frac{1}{2^{nx}} \right)\) converge simplement sur ]0, \(+\infty\) [ vers la fonction : \(S : x \longmapsto \frac{2^x}{2^x - 1}.\)