Exercice 5

Partie

Question

Soit la série de fonctions \(\displaystyle \left( \sum f_n \right) \) définies sur \(\mathbb{R}\)\{1} par :

\(f_n(x) = \frac{x^n}{(1 - x)^n}\)

Étudier la convergence simple de cette série.

Aide simple

Penser aux séries géométriques.

Solution détaillée

Pour \(x_0 \neq 1\) , la série numérique\(\displaystyle \left( \sum f_n(x_0) \right) =\displaystyle \left( \sum \left( \frac{x_0}{1 - x_0} \right)^n \right)  \) est une série géométrique de raison \(q = \frac{x_0}{1 - x_0}\)

Une telle série converge si et seulement si |q |< 1 et sa somme vaut\( \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} q^n = \frac{1}{1 - q}\) (1)

Il y aura donc convergence simple pour les x tels que - 1 < \(\frac{x}{1 - x}\) < 1 (2)

  1. Si x > 1 , 1 - x < 0 et la relation (2) équivaut à x- 1 > x > 1 - x , ce qui est impossible.

  2. Si x < 1 , 1- x > 0 ; la relation (2) équivaut à x - 1 < x < 1 - x , soit x < \(\frac{1}{2}\)

Conclusion : La série de fonctions\( \sum  \frac{x^n}{(1 - x)^n}\) converge simplement sur\( ]-\infty, \frac{1}{2}[\) et sa somme vaut :

\(S(x) = \frac{1}{1 - \frac{x}{1- x}} = \frac{1 - x}{1 - 2x}\)

La série de fonctions \(\sum  \frac{x^n}{(1 - x)^n}\) converge simplement sur \(]-\infty, \frac{1}{2}[\) vers la fonction :

\(S : x \longmapsto \frac{1 - x}{1 - 2x}\)