Exercice 4

Partie

Question

Étudier la convergence simple sur \(\mathbb{R_+}\) de la série de fonctions \(\displaystyle \left( \sum f_n \right) \) définies par :

\(f_n(x) = \frac{1}{1 + n^2x}\)

Aide simple

Penser au cas x = 0 .

Solution détaillée

Pour tout n, \(f_n\) est définie sur \(\mathbb{R_+}\) .

  • Pour \(x_0 \neq 0\) , la série numérique \(\displaystyle \left( \sum f_n(x_0) \right) \) est à termes positifs et \(\begin{array}{ccc}&&\\f_n(x_0) &\thicksim& \frac{1}{n^2x_0}\\&+\infty&\end{array}\) donc \(\displaystyle \left( \sum f_n(x_0) \right) \) est convergente.

  • Pour \(x_0 = 0\) , \(f_n(0) = 1\) , le terme général ne tend pas vers 0, donc cette série numérique diverge.

    La série \(\displaystyle \left( \sum \frac{1}{1 + n^2x} \right) \) converge simplement sur ]0,\(+\infty\) [ .