Séries de fonctions

Étude de la convergence uniforme de la série sur \(\mathbb{R}\) :

1. En tenant compte du fait qu'on a pu calculer la somme \(S\), on peut utiliser la suite des restes \(R_{n}\) et montrer qu'elle ne converge pas uniformément vers la fonction \(\overset{\sim}{0}\) sur \(\mathbb{R}\).

   En effet, \(R_{n} (x) = S(x) - S_{n}(x) = \frac{3}{2}x - \left( \frac{3}{2}x - \frac{x}{n+1}\right) = \frac{x}{n+1}\) (voir exercice 3).

   Pour \(n \geq 2\), \(\underset{\mathbb{R}}{\textrm{sup}}~~R_{n}(x) = +\infty\) ;

   la suite des restes ne converge pas uniformément sur \(\mathbb{R}\) vers la fonction nulle, donc la série ne converge pas uniformément sur \(\mathbb{R}\).

2. La série ne vérifie pas le critère de Cauchy uniforme :

   ce critère s'exprime par : \((\forall \epsilon > 0),~(\exists n_{0} \in \mathbb{N}), \left[ (n_{0} \leq p \leq q) \Longrightarrow \left( \underset{x \in I}{\textrm{sup}} \left\{ \left| f_{p+1} (x) + ... f_{q}(x) \right| \right\} < \epsilon \right) \right]\).

   Montrons que \(\exists \epsilon > 0,~\forall N \in \mathbb{N},~\exists p_{N} \in \mathbb{N},~\exists q_{N} \in \mathbb{N},~N \leq p_{N} < q_{N},~\underset{x \in \mathbb{R}}{\textrm{sup}} \left\{ \left| f_{p+1}(x) + ... + f_{q}(x) \right| \right\} \geq \epsilon\),

   soit encore : \(\exists \epsilon > 0,~\forall N \in \mathbb{N},~\exists p_{N} \in \mathbb{N},~\exists q_{N} \in \mathbb{N},~N \leq p_{N} < q_{N},~\exists x_{N} \in \mathbb{R},~\left| f_{p+1} (x_{N}) + ... + f_{q}(x_{N}) \right| \geq \epsilon\)

   On pose \(q = p + k\) : \(\left| f_{p+1}(x) + ... + f_{q}(x) \right| = \left| x \left( \frac{1}{p+1} - \frac{1}{p+k+1} \right) \right| = \left| x \right| \frac{k}{(p+1)(p+k+1)}\).

   Essayons de trouver \(N\), \(p_{N}\), \(k\) et \(x\) de telle sorte que \(|x| \frac{k}{(p+1)(p+k+1)} = 1\), auquel cas, il suffira de choisir par exemple \(\epsilon = \frac{1}{2}\).

   Il suffira de prendre \(p = N\), \(k =N + 1\), \(x = 2(N + 1)\), alors \(\left| f_{N + 1}(N + 1) + ... + f_{2 (N+1)} (N+1) \right| = \frac{2 (N+1)^{2}}{2 (N+1)^{2}} = 1 \geq \frac{1}{2}\).

   La série \(\left( \underset{n \geq 1}{\sum} f_{n} \right)\) ne converge pas uniformément sur \(\mathbb{R}\) vers sa somme \(S\) , donc, a fortiori, elle ne converge pas normalement sur \(\mathbb{R}\) vers cette fonction.

Étude de la convergence uniforme de la série sur \([a, b]\) : on peut utiliser ces deux mêmes méthodes.

1. La suite des restes \(\Big( R_{n} (x) \Big)\) est uniformément bornée sur \([a, b]\).

   En effet, on a vu que \(R_{n}(x) = \frac{x}{n+1}\). Posons \(M = \textrm{max}(|a|, |b|)\), alors \(\underset{[a, b]}{\textrm{sup}} \Big|R_{n}(x)\Big| \leq \frac{M}{n+1} \rightarrow 0\).

   La suite \(\frac{M}{n+1}\) tend vers \(0\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\), donc la convergence de la suite des restes est uniforme sur \([a,b]\) vers la fonction \(S : x \longmapsto \frac{3}{2}x\),

   ainsi, on peut conclure que la série de fonctions converge uniformément sur tout segment de \(\mathbb{R}\).

2. Sur \([a, b]\), la série vérifie le critère de Cauchy uniforme. En effet, on a vu plus haut que : \(\left|f_{p+1}(x) + ... + f_{q}(x) \right| = |x| \frac{k}{(p+1)(p+k+1)}\).

   Soit \(M = \textrm{max} (|a|, |b|),~~\left| f_{p+1}(x) + ... + f_{q}(x) \right| \leq M \frac{k}{(p+1)(p+k+1)}\).

   Il s'agit de rendre cette quantité inférieure à \(\epsilon\) à partir d'un certain rang \(n_{0} \leq p\).

   Or, \(\frac{k}{(p+1)(p+k+1)} < \frac{k}{p(p+k)}\). De plus, \(\frac{k}{p(p+k)} = \frac{1}{p} - \frac{1}{p + k}\).

   D'où \(\left| f_{p+1}(x) + ... + f_{q}(x) \right| < M \left( \frac{1}{p} - \frac{1}{p+k} \right) < \frac{M}{p} \leq \frac{M}{n_{0}}\).

   Pour tout \(\epsilon > 0\), il suffit de choisir \(n_{0} = E \left( \frac{M}{\epsilon} \right) + 1\), pour que, pour tout \(p\) et \(q\) entiers vérifiant \(n_{0} \leq p < q\), on ait \(\underset{[a, b]}{\textrm{sup}} \left| f_{p+1}(x) + ... + f_{q}(x) \right| \leq \epsilon\).

   Ainsi, la série \(\left( \underset{n \geq 1}{\sum} f_{n} \right)\) converge uniformément vers la fonction \(f\) sur tout segment \([a, b]\).