Exercice 18
Partie
Question
Étudier la convergence simple, normale et uniforme sur \(]1,+\infty[\) de la série de fonctions \(\left( \underset{n \geq 1}{\sum} f_{n}\right)\): \(f_{n}(x) = \frac{(-1)^{n}}{nx + (-1)^{n}}\)
Aide simple
Montrer que la série est alternée pour \(x \geq 2\).
Pour \(x \in ]1, 2[\), étudier la convergence de la série \(\left( \underset{n \geq 1}{\sum} f_{n}(x) \right)\) avec \(g_{n}(x ) = f_{2n}(x) + f_{2n+1}(x)\).
Solution détaillée
La suite (\(f_{n}(x)\)) est définie pour \(n > \frac{1}{x}\).
Elle tend vers 0.
Pour \(n\) assez grand \(\left( n > \frac{1}{x} \right)\), \(nx - 1 > 0\). D'autre part, \(nx + 1 > 0\) pour tout \(x > 0\). Donc pour \(n > \frac{1}{x}\), \(u_{n}(x)\) est du signe de \((-1)^{n}\).
Mais la suite \(|f_{n}(x)|\) n'est pas décroissante pour tout \(x > 0\).
Cherchons pour quels \(x \in R^{*}_{+}\), \(\left| \frac{f_{n+1}(x)}{f_{n}(x)} \right| = \left| \frac{nx + (-1)^{n}}{(n+1)x - (-1)^{n}} \right| \leq 1\).
\(\begin{array}{r c l} \left| \frac{nx + (-1)^{n}}{(n+1)x - (-1)^{n}} \right| & \Longleftrightarrow & -1 \leq \frac{nx + (-1)^{n}}{(n+1)x -(-1)^{n}} \leq 1 \\ \end{array}\)
En effet, le dénominateur est toujours positif dès que \(f_{n+1}\) est définie, l'inégalité \(-2 \leq \frac{2(-1)^{n}-x}{(n+1)x -(-1)^{n}}\) est donc toujours vérifiée et \(\frac{2(-1)^{n} - x}{(n+1)x - (-1)^{n}} \leq 0\) équivaut à \(x \geq 2\).
Si \(\), (3) est vérifiée pour tout \(n\) et la suite \((|f_{n}(x)|)\) est décroissante et tend vers 0 : la série est convergente.
De plus, nous avons affaire à une série alternée vérifiant : \(|f_{n}(x)| \leq \frac{1}{2n-1}\).
On déduit que la série \(\left( \underset{n \geq 1}{\sum} f_{n}\right)\) converge uniformément sur \([2,+\infty[\) puisque le reste \(R_{n}(x) = \overset{+\infty}{\underset{k = n+1}{\sum}} f_{k}(x)\) vérifie : \(|R_{n}(x)| \leq |f_{n}(x)|\).
Si \(1 < x < 2\), \(\left| \frac{nx + (-1)^{n}}{(n+1)x - (-1)^{n}} \right|\) \(<1\) ou \(>1\) selon la parité de \(n\) et la suite \(|f_{n}(x)|\) n'est pas monotone.
Considérons \(g_{p}(x) = f_{2p}(x) + f_{2p+1}(x)\) : \(g_{p}(x) = \frac{x - 2}{(2 px +1)(2px +x -1)}\),
puisque la suite (\(f_{n}(x)\)) tend vers 0, la convergence de \(\left( \underset{n \geq 1}{\sum} f_{n}(x) \right)\) équivaut à celle de \(\left( \underset{p \geq 1}{\sum} g_{p}(x) \right)\). En effet :
Si \(\left( \underset{n \geq 1}{\sum} f_{n}(x)\right)\) converge, \(\left( \underset{p \geq 1}{\sum}g_{p}(x) \right)\) converge (somme de séries convergentes).
Si \(\left( \underset{p \geq 1}{\sum}g_{p}(x) \right)\) converge, posons \(S_{N}(x) = \overset{N}{\underset{k=1}{\sum}} f_{k}(x)\) et \(S'_{N}(x) = \overset{N}{\underset{k=1}{\sum}} g_{k}(x)\), alors \(S'_{N} = S_{2N+1}\) et \(S_{2N} = S'_{N} - f_{2N+1}\).
\(\underset{N \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}} S_{2N+1} = \underset{N \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}}S'_{N}\) et \(\underset{N \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}} S_{2N} = \underset{N \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}} S'_{N}\) aussi car \(\underset{N \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}} f_{2N+1} = 0\).
Donc, \(\left( \underset{n \geq 1}{\sum} f_{n}(x) \right)\) converge.
Or, \(g_{p}(x) \underset{+\infty}{\sim} \frac{x-2}{4p^{2}x^{2}}\) et la série \(\left( \underset{p \geq 1}{\sum} g_{p}(x) \right)\) converge pour \(x \in ]1, 2[\).
Donc, la série \(\left( \underset{n \geq 1}{\sum} \right)\) converge pour \(x \in ]1, 2[\).
De la même façon que ci-dessus, puisque la suite (\(f_{n}\)) tend uniformément sur \(]1, 2]\) vers \(\overset{\sim}{0}\) (immédiat), la convergence uniforme sur \(]1, 2]\) de \(\left( \underset{n \geq 1}{\sum} f_{n} \right)\) équivaut à la convergence uniforme sur \(]1, 2]\) de \(\left( \underset{p \geq 1}{\sum} g_{p} \right)\). En effet :
Si \(\left( \underset{n \geq 1}{\sum} f_{n} \right)\) converge uniformément sur \(]1, 2]\), \(\left( \underset{p \geq 1}{\sum} g_{p} \right)\) converge uniformément sur \(]1, 2]\) (convergence uniforme sur \(]1, 2]\) des restes vers \(\overset{\sim}{0}\)).
Si \(\left( \underset{p \geq 1}{\sum} g_{p} \right)\) converge uniformément sur \(]1, 2]\), posons \(R_{N} = \overset{+\infty}{\underset{k = N+1}{\sum}} f_{k}\) et \(R'_{N} = \overset{+\infty}{\underset{k=N+1}{\sum}} g_{k}\), alors \(R'_{N} = R_{2N}\) et \(R_{2N} = R'_{N} + f_{2N+1}\).
Les suites (\(R'_{N}\)) et (\(f_{2N+1}\)) convergent uniformément sur \(]1, 2]\) vers \(\overset{\sim}{0}\), donc il en est de même pour la suite (\(R_{N}\)).
Or \(g_{p}(x) = \frac{x-2}{(2px + 1)(2px +x -1)}\) et la série \(\left( \underset{p \geq 1}{\sum} g_{p}\right)\) converge uniformément sur \(]1, 2]\).
Donc, \(\left( \underset{n \geq 1}{\sum} f_{n} \right)\) converge uniformément sur \(]1, 2]\).
En revanche, la série \(\left( \underset{n \geq 1}{\sum} f_{n} \right)\) ne converge normalement sur aucune intervalle \([a, b] \subset ]1, +\infty[\).
En effet, \(|f_{n}(x)| = \frac{1}{nx + (-1)^{n}}\), la fonction \(x \longmapsto |f_{n}(x)|\) est donc décroissante sur \([a, b]\) et \(\underset{x \in [a, b]}{\textrm{max}} \left\{ |f_{n}(x)|\right\} = \frac{1}{na + (-1)^{n}}\) et la série \(\left( \underset{n \geq 1}{\sum}~\frac{1}{na + (-1)^{n}} \right)\) est divergente.
La série de fonctions \(\left( \underset{n \geq 1}{\sum}~\frac{(-1)^{n}}{nx + (-1)^{n}} \right)\) est convergente sur \(]1,+\infty[\).
Elle converge uniformément sur \(]1,+\infty[\) (car elle converge uniformément sur \(]1, 2]\) et sur \([2, +\infty]\)) mais elle ne converge normalement sur aucun des intervalles de \(]1,+\infty[\)