Exercice 15
Partie
Question
Si \(A\) est une partie de \(\mathbb{R}\), \(1_{A}\) est la fonction indicatrice de \(A\) qui prend la valeur 1 pour les éléments de \(A\) et 0 sur le complémentaire de \(A\).
Étudier la convergence normale et la convergence uniforme sur \(\mathbb{R}\) de la série de fonctions \(\left( \underset{n \geq 1}{\sum} f_{n} \right)\) définies par : \(f_{n} = \frac{1}{n}.1_{[n, n+1[}\)
Aide simple
Il y a convergence uniforme mais pas convergence normale.
Solution détaillée
Pour \(n\) fixé, la fonction \(f_{n}\) prend donc la valeur \(\frac{1}{n}\) sur \([n, n+1[\) et 0 ailleurs.
(voir exercice 8)
On a alors \(\underset{x \in \mathbb{R}}{\textrm{sup}} \left| f_{n}(x)\right| = \frac{1}{n}\) (cette borne supérieure étant atteinte).
La série \(\Big( \sum f_{n} \Big)\) ne converge pas normalement car la série harmonique est divergente.
Étudions à présent la convergence uniforme de cette série.
Pour \(x\) fixé, \(x < 1\), \(f_{n}(x ) = 0\).
Pour \(x\) fixé, \(x \geq 1\), notons \(N = E(x)\) (partie entière de \(x\)) : \(N \leq x < N+1\).
Ceci montre que la série \(\Big( \sum f_{n} \Big)\) est simplement convergente sur \(\mathbb{R}\), sa somme étant définie par \(\left\{ \begin{array}{l r c l} f(x) & = & 0 & \textrm{si}~~x < 1 \\ f(x) & = & \frac{1}{E(x)} & \textrm{pour}~~x \geq 1 \end{array} \right.\)
D'autre part, la fonction \(S_{n}\), somme partielle d'ordre \(n\) est définie par : \(S_{n}(x) = \frac{1}{N}\) si \(1 \leq x < n + 1\) et \(S_{n}(x) = 0\) si \(x \geq n+1\) ou si \(x < 1\).
On en déduit alors l'expression du reste : \(R_{n}(x) = 0\) si \(x < n+1\) et \(R_{n}(x) = \frac{1}{N}\) si \(x \geq n+1\).
Dans ce dernier cas, \(x \geq n+1\) entraîne \(N \geq n+1\), donc \(\frac{1}{N} \leq \frac{1}{n+1}\).
Le reste vérifie donc dans tous les cas : \(0 \leq R_{n}(x) \leq \frac{1}{n+1}\).
Ceci prouve la convergence uniforme de la série vers \(S\) sur \(\mathbb{R}\).
La série converge uniformément et pas normalement sur \(\mathbb{R}\).