Exercice 17 [Séries de fonctions]

Exercice 17

Partie

Question

Étudier la convergence simple, normale et uniforme sur $\mathbb{R}$ de la série de fonctions $\left( \underset{n \leq 1}{\sum} f_{n} \right)$ définies par : $f_{n}(x) = \frac{(-1)^{n}}{x^{2} + n}$ .

Solution détaillée

Pour tout $x \in \mathbb{R}$ , la suite $\left( \frac{1}{x^{2} + n}\right)$ est décroissante et tend vers 0 ; la série numérique $\left( \underset{n \geq 1}{\sum} f_{n}(x)\right)$ est une série alternée, donc convergente mais non absolument convergente puisque $|f_{n}(x)| \underset{+\infty}{\sim} \frac{1}{n}$ (série harmonique divergente).
De plus, $\underset{\mathbb{R}}{\textrm{sup}}~|f_{n}(x)| = \underset{\mathbb{R}}{\textrm{sup}}~\frac{1}{x^{2} + n} = \frac{1}{n}$ .
De même, pour tout $I \subset \mathbb{R}$ , $\underset{I}{\textrm{sup}}~|f_{n}(x)| = \underset{I}{\textrm{sup}}~\frac{1}{x^{2} + n} \underset{+\infty}{\sim} \frac{1}{n}$ .
Donc la série n'est pas normalement convergente sur $\mathbb{R}$ , ni sur aucun de ses intervalles.
On applique le résultat concernant la convergence uniforme de certaines séries alternées.
"Soit $\Big( \sum f_{n} \Big)$ une série de fonctions définie sur $I$ telle que, pour tout $x \in I$ , la série numérique $\Big( \sum f_{n}(x) \Big)$ soit une série alternée dont le terme général décroît en valeur absolue vers 0.
Si la suite de fonctions ( $f_{n}$ ) converge uniformément vers 0 sur $I$ , la série $\Big( \sum f_{n} \Big)$ converge uniformément sur $I$ ."
$|f_{n+1}(x)| \leq \frac{1}{n+1}$ , donc la suite ( $f_{n}$ ) converge uniformément vers 0 sur $\mathbb{R}$ . Cela prouve que la série converge uniformément sur $\mathbb{R}$ .

La série de fonctions $\left( \underset{n \geq 1}{\sum} \frac{(-1)^{n}}{x^{2} + n} \right)$ converge uniformément sur $\mathbb{R}$ , mais ne converge normalement sur aucun des intervalles de $\mathbb{R}$ .