Exercice 17
Partie
Question
Étudier la convergence simple, normale et uniforme sur \(\mathbb{R}\) de la série de fonctions \(\left( \underset{n \leq 1}{\sum} f_{n} \right)\) définies par : \(f_{n}(x) = \frac{(-1)^{n}}{x^{2} + n}\).
Aide simple
Montrer que la série est alternée.
Solution détaillée
Pour tout \(x \in \mathbb{R}\), la suite \(\left( \frac{1}{x^{2} + n}\right)\) est décroissante et tend vers 0 ; la série numérique \(\left( \underset{n \geq 1}{\sum} f_{n}(x)\right)\) est une série alternée, donc convergente mais non absolument convergente puisque \(|f_{n}(x)| \underset{+\infty}{\sim} \frac{1}{n}\) (série harmonique divergente).
De plus, \(\underset{\mathbb{R}}{\textrm{sup}}~|f_{n}(x)| = \underset{\mathbb{R}}{\textrm{sup}}~\frac{1}{x^{2} + n} = \frac{1}{n}\).
De même, pour tout \(I \subset \mathbb{R}\), \(\underset{I}{\textrm{sup}}~|f_{n}(x)| = \underset{I}{\textrm{sup}}~\frac{1}{x^{2} + n} \underset{+\infty}{\sim} \frac{1}{n}\).
Donc la série n'est pas normalement convergente sur \(\mathbb{R}\), ni sur aucun de ses intervalles.
On applique le résultat concernant la convergence uniforme de certaines séries alternées.
"Soit \(\Big( \sum f_{n} \Big)\) une série de fonctions définie sur \(I\) telle que, pour tout \(x \in I\), la série numérique \(\Big( \sum f_{n}(x) \Big)\) soit une série alternée dont le terme général décroît en valeur absolue vers 0.
Si la suite de fonctions (\(f_{n}\)) converge uniformément vers 0 sur \(I\), la série \(\Big( \sum f_{n} \Big)\) converge uniformément sur \(I\)."
\(|f_{n+1}(x)| \leq \frac{1}{n+1}\), donc la suite (\(f_{n}\)) converge uniformément vers 0 sur \(\mathbb{R}\). Cela prouve que la série converge uniformément sur \(\mathbb{R}\).
La série de fonctions \(\left( \underset{n \geq 1}{\sum} \frac{(-1)^{n}}{x^{2} + n} \right)\) converge uniformément sur \(\mathbb{R}\), mais ne converge normalement sur aucun des intervalles de \(\mathbb{R}\).