Séries de fonctions

Pour tout \(x \in R_{+}\) , le terme \(\ln{\left( 1 + \frac{x^{2}}{n ( 1 + x^{2})} \right)}\) est positif, puisque \(\frac{x^{2}}{n (1+x^{2})} \geq 0\).

Pour tout \(x \in R_{+}\) , la série numérique \(\left( \underset{n \geq 1}{\sum} \ln{\left( 1 + \frac{x^{2}}{n(1 + x^{2})} \right)}\right)\) a son terme général qui décroît, puisque la fonction logarithme est strictement croissante et la suite \(n \longmapsto 1 + \frac{x^{2}}{n(1+x^{2})}\) est décroissante.

\(\underset{n \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}}~~\frac{x^{2}}{n(1 + x^{2})} = 0\), donc \(\underset{n \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}} \ln{\left( 1 + \frac{x^{2}}{n(1 + x^{2})} \right)} = 0\)~.

Pour tout \(x \in \mathbb{R}_{+}\), \(\begin{array}{r c l} \ln{\left( 1 + \frac{x^{2}}{n(1+x^{2})}\right)} & \leq & \frac{x^{2}}{n(1 + x^{2})}~~~\textrm{car}~~\ln{(1+u)} \leq u \\ \\ & \leq & \frac{1}{n} - \frac{1}{n(1+x^{2})} \\ \\ & \leq & \frac{1}{n} \end{array}\)

Donc, la suite de fonctions \(\left( \ln{\left( 1 + \frac{x^{2}}{n(1+x^{2})} \right)}\right)\) converge uniformément vers \(0\) sur \(R_{+}\) .

D'après le critère de convergence uniforme de certaines séries alternées, on conclut : La série de fonctions \(\left( \underset{n \geq 1}{\sum} \ln{\left( 1 + \frac{x^{2}}{n(1+x^{2})} \right)}\right)\) converge uniformément sur \(\mathbb{R}_{+}\).

En revanche, il n'y a pas convergence normale sur \(\mathbb{R}_{+}\) car : \(\underset{x \in \mathbb{R}_{+}}{\textrm{sup}} \left[ \ln{\left( 1 + \frac{x^{2}}{n(1 + x^{2})} \right)}\right] = \ln{\left( 1 + \frac{1}{n} \right) \underset{+\infty}{\sim} \frac{1}{n}}\) ; et la série harmonique n'est pas convergente.