Exercice 13
Partie
Question
Soit la série de fonctions \(\Big( \sum f_{n} \Big)\) définies sur \(\mathbb{R} \backslash \{1\}\) par : \(f_{n}(x) = \frac{x^{n}}{(1 - x)^{n}}\).
Étudier la convergence uniforme et la convergence normale de cette série.
Aide simple
Il n'y a pas convergence uniforme sur \(\mathbb{R}\) (comme pour toute série géométrique).
Déterminer des sous-ensembles de \(\mathbb{R}\) sur lesquels il y a convergence normale.
Solution détaillée
On a vu à l'exercice 5 que cette série converge simplement sur \(\left] -\infty, \frac{1}{2}\right[\) vers \(S : x \longmapsto \frac{1 - x}{1 - 2x}\).
soit \(m_{n} = \underset{\left] -\infty, \frac{1}{2} \right[}{\textrm{sup}} \left| \frac{x}{1 - x} \right|^{n}\).
La fonction \(x \longmapsto \frac{x}{1-x} = -1 + \frac{1}{1 - x}\) est croissante sur \(\left] -\infty, \frac{1}{2} \right[\), donc, pour \(n\) fixé : \(m_{n} = \underset{x \rightarrow \frac{1}{2}}{\textrm{lim}} \left| \frac{x}{1-x} \right|^{n} = 1^{n} = 1\).
La série de fonctions \(\left( \sum \frac{x^{n}}{(1 - x)^{n}} \right)\) ne converge pas normalement sur \(\left]-\infty, \frac{1}{2} \right[\) vers sa somme \(S : x \longmapsto \frac{1 - x}{1 - 2x}\).
En revanche, il y a convergence normale donc uniforme sur tout intervalle \(]- \infty, a]\), \(a < \frac{1}{2}\) puisque \(m_{n} = \underset{]-\infty, a[}{\textrm{sup}} \left| \frac{x}{1-x} \right|^{n} = \left| \frac{a}{1 - a} \right|^{n}\), donc : \(\underset{n \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}} m_{n} = 0\) (en effet, \(a < \frac{1}{2} \Longleftrightarrow \left|\frac{a}{1 - a}\right| < 1\) d'après l'exercice 5).