Séries de fonctions

Sur \(]0, +\infty[\) : étudions \(m_{n} = \underset{]0, +\infty[}{\textrm{sup}} |f_{n}(x)|\).

\(m_{n} = \frac{1}{\underset{]0, +\infty[}{\textrm{inf}} ( e^{nx \ln{(2)}})}\)

Puisque la fonction exponentielle est strictement croissante, \(\underset{]0, +\infty[}{\textrm{inf}} (e^{nx \ln{(2)}}) = \underset{x \rightarrow 0}{\textrm{lim}}~~e^{nx \ln{(2)}}= 1\) ;

donc, \(m_{n} = 1\) et la série numérique \(\Big( \sum m_{n} \Big)\) ne converge pas.

La série de fonctions \(\left( \sum \frac{1}{2^{nx} }\right)\) ne converge pas normalement sur \(]0, +\infty[\).

Sur \([a, +\infty[\) avec \(a > 0\) : \(\forall x > 0, \left| \frac{1}{2^{nx}} \right| \leq \left(\frac{1}{2^{a}}\right)^{n}\) ;

or, la série numérique \(\left( \sum \left( \frac{1}{2^{a}}\right)^{n}\right)\) est une série géométrique de raison strictement comprise entre \(0\) et \(1\) pour \(a > 0\), donc elle est convergente.

La série de fonctions \(\left( \sum \frac{1}{2^{nx}} \right)\) converge normalement donc uniformément sur \([a,+\infty[\) , pour \(a > 0\).