Exercice 1
Partie
Question
Ecrire la solution générale du système \(X' = AX\), où \(A\) est la matrice \(\displaystyle{\left(\begin{array}{cccccc}5 & -6 \\3 & -4\end{array}\right)}\)
Parmi toutes les solutions \(X(t) = (x(t), y(t))\), quelles sont celles pour lesquelles \(x(t)\) et \(y(t)\) tendent tous deux vers 0 quand \(t\to+\infty\)
Pour quelles conditions initiales \((x(0), y(0))\) la solution \((x(t), y(t))\) tend-elle vers 0 quand \(t\to+\infty\) ?
Solution détaillée
Les valeurs propres de la matrice \(A=\displaystyle{\left(\begin{array}{cccccc}5 & -6 \\3 & -4\end{array}\right)}\)
sont \(\lambda=-1\) et \(\mu=2\)
Cherchons donc les solutions sous la forme
\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{llll}x(t) & = & Ae^{-t}+Be^{2t} \\y(t) & = & Ce^{-t}+De^{2t}\end{array}\right.}\)
En écrivant que \(y' = 3x - 4 y\), on voit qu'on doit choisir \(C = A\) et \(B = D/2\).
La solution générale est donc
\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{llll}x(t) & = & Ae^{-t}+Be^{2t} \\y(t) & = & Ae^{-t}+B/2e^{2t}\end{array}\right.}\)
Pour que que \(x(t)\) et \(y(t)\) tendent vers 0 quand t tend vers \(+\infty\), il faut et il suffit que B soit nul.
Comme \(x(0)-y(0)=B/2\) la condition \(B = 0\) équivaut à \(x(0) = y(0)\).