Exercice 4
Partie
Question
a) Soit A une matrice réelle carrée dont toutes les valeurs propres sont distinctes,et toutes réelles négatives. Montrer que, si \(X(t)\) est une solution du système différentiel \(X' = AX\), chaque composante de \(X(t)\) tend vers 0 quand \(t\to+\infty\)
b) Même question quand les valeurs propres (distinctes) de A sont les unes réelles négatives, les autres complexes de partie réelle négative.
Solution détaillée
a) Comme les valeurs propres de A sont réelles et distinctes, A est diagonalisable sur \(R\), et il existe une base de \(R^n\) dans laquelle le système s'écrit
\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{llll}x'_1 & = & \lambda_1x_1 \\x'_2 & = &\lambda_2x_2 \\\ldots & \ldots & \ldots \\ x'_n & = & \lambda_nx_n\end{array}\right.}\)
Les solutions sont alors \(\displaystyle{\left\{\begin{array}{llll}x_1(t) & = & A_1\exp(\lambda_1t) \\\ldots & \ldots & \ldots \\ x_n(t) & = & A_n\exp(\lambda_nt)\end{array}\right.}\)
Puisque tous les \(\lambda_i\) sont négatifs, chacune des fonctions \(x_i(t)=A_i\exp(\lambda_it)\) tend vers 0 quand t tend vers \(+\infty\).
Dans toute autre base, les composantes de \(X(t)\) s'expriment comme combinaison linéaire des \(x_i(t),\) et donc tendent vers 0 quand \(t\) tend vers \(+\infty\).
b) Si les valeurs propres sont les unes réelles négatives, les autres complexes de partie réelle négative, il existe une base de \(R^n\) dans laquelle les composantes des solutions sont
soit de la forme \(A\exp(\lambda t)\) avec λ < 0
soit de la forme \(\exp(\alpha t)(B\cos\beta t+C\sin\beta t)\) avec \(\alpha < 0\)
Toutes ces fonctions tendent vers 0 quand t tend vers \(+\infty\), et on termine comme précedemment.