Exercice 7
Partie
Question
Résoudre le système
\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{lll}x' & = & 2x+2y \\y' & = & -2x-3y\end{array}\right.}\)
et tracer la trajectoire[1] des solutions vérifiant respectivement \(x(0) = 0\), \(y(0) = 1\), puis \(x(0) = 0\), \(y(0) = -1\), puis \(x(0) = 1\), \(y(0) = 0\).
Expliquer les similitudes et les différences entre les solutions de ce système et celles de l'équation
\(\frac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}=-\frac{2x+3y}{2x+2y}\)
Solution détaillée
Le système \(\displaystyle{\left\{\begin{array}{llll}x' & = & 2x+2y \\y' & = & -2x-3y\end{array}\right.}(1)\) peut s'écrire \(\displaystyle{\left[\begin{array}{cccccc}x' \\ y'\end{array}\right]=\left(\begin{array}{cccccc}2 & 2 \\ -2 & -3\end{array}\right)\left[\begin{array}{cccccc}x \\ y\end{array}\right]}\)
Les valeurs propres de la matrice \(\displaystyle{\left(\begin{array}{cccccc}2 & 2 \\ -2 & -3\end{array}\right)}\) sont -2 et 1, et les vecteurs propres correspondants sont \(V(1, -2)\) et \(W(2, -1)\).
Les solutions s'écrivent \(\displaystyle{\left[\begin{array}{cccccc}x \\ y\end{array}\right]=A\exp(-2t)V+B\exp t~W}\) soit
\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{llll}x(t) & = & A\exp(-2t)+2B\exp t \\y(t) & = & -2A\exp(-2t)-B\exp t\end{array}\right.}\)
La solution vérifiant \(x(0) = 0\), \(y(0) = 1\) est \(\displaystyle{\left\{\begin{array}{llll}x(t) & = & -\frac{2}{3}\exp(-2t)+\frac{2}{3}\exp t \\y(t) & = & \frac{4}{3}\exp(-2t)-\frac{1}{3}\exp t\end{array}\right.}\)
L'équation \(\frac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}=-\frac{2x+3y}{2x+2y} (2)\) n'est pas définie sur la droite \(y = - x\), car le dénominateur s'y annule. Le graphe de ses solutions ne rencontre donc pas cette droite.
Appelons H la trajectoire de la solution de (1) passant par un point \((x, y)\). Si, sur un intervalle I contenant x, H est le graphe d'une fonction dérivable \(f\), alors cette fonction est solution de (2) : en effet en chaque point (u,v) du graphe de \(f\), sa tangente a pour pente\( -\frac{2u+3v}{2u+2v}\)
On pourrait montrer réciproquement que tout graphe d'une solution de (2) est inclus dans une trajectoire de (1) (mais la démonstration sort du cadre de ce module).
Les deux figures ci-dessous montrent respectivement les trajectoires du système (1) et de l'équation (2).
Sur chacune d'elles, cliquez sur un point pour tracer une trajectoire.
Dans la deuxième, si vous cliquez près de la droite \(y + x = 0\) (tracée en jaune) vous remarquerez que les solutions tracées s'arrêtent sur cette droite (ce qui n'est pas le cas dans la première figure).