Exercice 5
Partie
Question
Soit A la matrice
\(A=\displaystyle{\left(\begin{array}{cccccc}1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \\ 1 & -1 & 3 \end{array}\right)}\)
Déterminer une matrice triangulaire supérieure \(T\) et une matrice inversible \(P\) telles que \(A = P T P^{-1}\).
En déduire les solutions du système différentiel :
\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{lll}x' & = & x+y+z \\y' & = & 2y+2z \\z' & = & x-y+3z\end{array}\right.}\)
Expliciter la solution vérifiant \(x(0) = y(0) = z(0) = 1\).
Solution détaillée
La seule valeur propre de la matrice
\(A=\displaystyle{\left(\begin{array}{cccccc}1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \\ 1 & -1 & 3 \end{array}\right)}\)
est \(\lambda = 2\).
L'espace propre est de dimension 1, engendré par V = (1, 1, 0).
On cherche un vecteur \(W\) tel que \((A-2I)W\) soit colinéaire à \(V\); on peut prendre \(W = (0, 1, 1)\).
Complétons la base par le vecteur \(Z = (1, 0, 0)\).
On obtient ainsi \(P=\displaystyle{\left(\begin{array}{cccccc}1 & 0 & 1 \\1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right)}\) et \(T=\displaystyle{\left(\begin{array}{cccccc}2 & 2 & -1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right)}\) , avec \(A=PTP^{-1}\)
Si l'on pose \(X(t) = PU(t)\), le vecteur \(U(t)\) vérifie \(U' = TU\), soit
\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{llll}u' & = & 2u+2v-w \\v' & = & 2v+w \\w' & = & 2w\end{array}\right.}\)
On résout ce système en commençant par le bas : on trouve successivement :
\(w(t) = A \exp(2t)\).
\(v'(t) = 2v(t) + A\exp(2t)\), ce qui donne \(v(t) = (B+At) \exp(2t)\).
\(u'(t) = 2u(t) + (2B-A) \exp(2t) + 2At \exp(2t)\), ce qui donne \(u(t) = (C+At2+(2B-A)t) \exp(2t)\).
En faisant \(X = PU\), on trouve finalement
\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{llll}x(t) & = & (At^2+(2B-A)t+C+A)\exp(2t) \\y(t) & = & (At^2+2Bt+B+C)\exp(2t) \\z(t) & = & (B+At)\exp(2t)\end{array}\right.}\)
La solution vérifiant \(x(0) = y(0) = z(0) = 1\) donne \(A = 1\), \(B=1\), \(C=0\), soit finalement
\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{llll}x(t) & = & (t^2+t+1)\exp(2t) \\y(t) & = & (t^2+2t+1)\exp(2t) \\z(t) & = & (t+1)\exp(2t)\end{array}\right.}\)