Exercice 2
Partie
Question
Ecrire la solution générale complexe, puis la solution générale réelle du système \(X' = AX\), où \(A\) est la matrice \(\displaystyle{\left(\begin{array}{cccccc}-2 & 1 \\-1 & -2\end{array}\right)}\)
Montrer que toutes les solutions réelles \((x(t), y(t))\) tendent vers 0 quand \(t\to+\infty\)
Tracer la courbe paramétrée \((x(t), y(t))\) décrite par la solution vérifiant \(x(0) = 1\), \(y(0) = 0\).
Solution détaillée
Les valeurs propres de la matrice \(\displaystyle{\left(\begin{array}{cccccc}-2 & 1 \\-1 & -2\end{array}\right)}\) sont \(\lambda=-2-i\) et \(\mu=-2+i\)
Les vecteurs propres correspondant sont V(1, -i) et W ( 1, i).
La solution générale complexe s'écrit donc
\(X(t)=\alpha e^{\lambda t}V+\beta e^{\mu t}W\qquad(\alpha,\beta\in C)\), soit encore
\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{llll}x(t) & = & e^{-2t}[\alpha e^{-it}+\beta e^{it}] \\y(t) & = & e^{-2t}[-i\alpha e^{-it}+i\beta e^{it}]\end{array}\right.}\)
Les solutions réelles sont obtenues en prenant \(\alpha\) et \(\beta\) conjugués.
Elles sont donc de la forme
\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{llll}x(t) & = & e^{-2t}(A\cos t+B\sin t) \\y(t) & = & e^{-2t}(B\cos t-A\sin t)\end{array}\right.}\)
Comme \(A \cos t + B\sin t\) et \(B\cos t - A\sin t\) restent bornés, \(x(t)\) et\( y(t)\) tendent vers 0 quand \(t\) tend vers \(+\infty\)
On a \(x(0) = A\) et \(y(0) = B\). La solution vérifiant \(x(0) = 1\) et \(y(0) = 0\) est donc
\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{llll}x(t) & = & e^{-2t}\cos t \\y(t) & = & -e^{-2t}A\sin t\end{array}\right.}\)
La courbe paramétrée définie par cette solution est une spirale logarithmique.