Exercice 6
Partie
Question
Soit \(A\) une matrice carrée, et \(V\) un vecteur propre de \(A\) pour la valeur propre réelle \(m ≠ 0\). Soit \(U(t)\) l'unique solution du système différentiel \(X'(t) = A X(t)\) telle que \(U(0) = V\).
Déterminer la trajectoire \(I\) de cette solution, c'est-à-dire l'ensemble des \(U(t)\) pour \(t\) réel. Montrer qu'il y a une infinité de solutions de \(X'(t) = AX(t)\) qui ont \(I\) pour image, et les exprimer en fonction de \(U\).
Solution détaillée
Puisque \(V\) est vecteur propre pour la valeur propre \(m\), on a \(AV = mV\).
La fonction \(U(t)\) de \(R\) dans \(R^n\) définie par \(U(t)=\exp(mt)V\) a donc pour dérivée
\(U'(t)=m\exp(mt)V=A\exp(mt)V=AU(t)\)
Comme \(U(0) = V\), \(U(t)\) est bien la solution (unique) cherchée.
Lorsque \(t\) parcourt \(R\), \(\exp(mt)\) parcourt l'ensemble \(]0, +\infty[\) donc l'image \(I\) de la solution est l'ensemble \({\lambda V_0, \lambda > 0}\), c'est-à-dire la demi-droite ouverte engendrée par V.
Pour toute constante réelle \(\alpha > 0\), la fonction \(W(t)=\alpha U(t)\) est aussi une solution (c'est l'unique solution vérifiant \(W(0) = \alpha V\)). Elle a pour image cette même demi-droite.
Réciproquement, si une solution \(W(t)\) a cette demi-droite pour image, il existe un \(\alpha > 0\) tel que \(W(0)=\alpha V\). Puisque la solution \(\alpha U(t)\) vérifie la même condition initiale, le théorème d'unicité montre que l'on a \(W(t) = \alpha U(t)\).