Exercice 3
Partie
Question
Mettre les systèmes linéaires \(\displaystyle{\left\{\begin{array}{llll}x' & = & x \\y' & = & -2x+z \\ z' & = & 2x-y\end{array}\right.}\) et \(\displaystyle{\left\{\begin{array}{llll}x' & = & 2x \\y' & = & x/2+3y/2-z/2 \\z' & = & x/2-y/2+3z/2\end{array}\right.}\)
sous la forme \(X' = AX\), où \(A\) est une matrice à trois lignes et trois colonnes. Trouver les valeurs propres et les vecteurs propres de la matrice dans chaque cas, et en déduire les solutions générales de ces systèmes.
Solution détaillée
Le système \(\displaystyle{\left\{\begin{array}{lll}x' & = & x \\y' & = & -2x+z \\ z' & = & 2x-y\end{array}\right.}\) s'écrit
\(X'=\displaystyle{\left(\begin{array}{cccccc}x(t) \\ y(t) \\ z(t)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccc}1 & 0 & 0 \\ -2 & 0 & 1 \\ 2 & -1 & 0 \end{array}\right)X}\)
Le polynôme caractéristique de la matrice est \((1-\lambda)(\lambda^2+1)\), et les valeurs propres sont 1, \(i\) et \(-i\).
Les vecteurs propres sont respectivement \(T = (1, 0, 2), V + i W = (0, 1, i)\) et \(V - i W = (0, 1, -i)\) donc \(V = (0, 1, 0)\) et \(W = (0, 0, 1)\).
Les solutions complexes sont donc de la forme
\(\alpha Te^t+\beta(V+iW)e^{it}+\gamma(V-iW)e^{-it}\qquad(\alpha,\beta,\gamma\in C)\)
et les solutions réelles (obtenues en prenant \(\alpha\) réel et \(\beta\) et \(\gamma\) conjugués ) de la forme
\(\alpha Te^t+(b\cos t-c\sin t)V+(-b\sin t-c\cos t)W\qquad(a,b,c\in R)\)
où 2b et 2c sont respectivement la partie réelle et la partie imaginaire de \(\beta\).
En remplaçant \(T\), \(V\) et \(W\) par leur valeur, on obtient donc
\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{llll}x(t) & = & \alpha e^t \\y(t) & = &b\cos t-c\sin t \\z(t) & = & 2\alpha e^t-b\sin t-c\cos t\end{array}\right.}\)
Le système \(\displaystyle{\left\{\begin{array}{lll}x' & = & 2x \\y' & = & x/2+3y/2-z/2 \\z' & = & x/2-y/2+3z/2\end{array}\right.}\) s'écrit \(X' = AX\) , avec
\(\displaystyle{\left(\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 0 \\ 1/2 & 3/2 & -1/2 \\ 1/2 & -1/2 & 3/2\end{array}\right)}\)
En calculant les valeurs propres et les vecteurs propres de A, on voit qu'on peut écrire
\(A = PDP^{-1}\) avec \(\displaystyle{D = \left(\begin{array}{ccc}2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)}\) et \(\displaystyle{P = \left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right)}\)
Le système \(U' = DU\) a pour solutions
\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{lll}u(t) = A e^{2t} \\ v(t) = B e^{2t} \\ w(t) = C e^t\end{array}\right.}\)
En écrivant \(X = PU\), on trouve finalement
\(\displaystyle{\left\{x(t) = (A + B)e^{2t} \\ y(t) = Be^{2t} + Ce^t \\ z(t) = A e^{2t} + Ce^t\right.}\)