Stigmatisme rigoureux [Dioptre Sphérique]

Stigmatisme rigoureux

Image d'un point sur l'axe :

Le point A₁ est pris sur l'axe A₁CS et donc son image^[1], si elle existe, sera sur cet axe car le rayon A₁CS traverse le dioptre sans être dévié.

Un rayon quelconque A₁I se réfracte suivant IA₂, les rayons incident, réfracté et la normale au dioptre CI étant situés dans un même plan que l'on choisit comme plan de la figure.

Appliquons la relation des sinus au triangle ICA₁ : \(\frac{\overline{\mathrm{CA}_1}}{\sin~\mathrm i_1}=\frac{\overline{\mathrm{IA}_1}}{\sin~(\pi-\omega)}=\frac{\overline{\mathrm{IA}_1}}{\sin~\omega}\)

puis au triangle ICA₂ : \(\frac{\overline{\mathrm{CA}_2}}{\sin~\mathrm i_2}=\frac{\overline{\mathrm{IA}_2}}{\sin~(\pi-\omega)}=\frac{\overline{\mathrm{IA}_2}}{\sin~\omega}\)

on en déduit : \(\frac{\overline{\mathrm{CA}_1}}{\overline{\mathrm{IA}_1}~\sin~\mathrm i_1}=\frac{\overline{\mathrm{CA}_2}}{\overline{\mathrm{IA}_2}~\sin~\mathrm i_2}\)

en tenant compte de la relation : \(\mathrm n_1~\sin~\mathrm i_1=\mathrm n_2~\sin~\mathrm i_2\) on obtient: \(\mathrm n_1~\frac{\overline{\mathrm{CA}_1}}{\overline{\mathrm{IA}_1}}=\mathrm n_2~\frac{\overline{\mathrm{CA}_2}}{\overline{\mathrm{IA}_2}}\)

la quantité : \(\mathrm n~\frac{\overline{\mathrm{CA}}}{\overline{\mathrm{IA}}}\) qui se conserve à la traversée du dioptre, est un invariant fondamental.

D'autre part:

\(\overrightarrow{\mathrm{IA}_1}=\overrightarrow{\mathrm{IC}}+\overrightarrow{\mathrm{CA}_1}\) et \(\overrightarrow{\mathrm{IA}_2}=\overrightarrow{\mathrm{IC}}+\overrightarrow{\mathrm{CA}_2}\) donc :

\(\mathrm{IA}_1^2=\mathrm{IC}^2+\mathrm{CA}_1^2-2.\overrightarrow{\mathrm{CI}}.\overrightarrow{\mathrm{CA}_1}\)

\(\mathrm{IA}_2^2=\mathrm{IC}^2+\mathrm{CA}_2^2-2.\overrightarrow{\mathrm{CI}}.\overrightarrow{\mathrm{CA}_2}\)

soit encore :

\(\mathrm{IA}_1^2=\overline{\mathrm{CA}_1^2}+\overline{\mathrm{CS}^2}-2.\overline{\mathrm{CA}_1}.\overline{\mathrm{CS}}.\cos\omega\)

\(\mathrm{IA}_2^2=\overline{\mathrm{CA}_2^2}+\overline{\mathrm{CS}^2}-2.\overline{\mathrm{CA}_2}.\overline{\mathrm{CS}}.\cos\omega~~~\) d'où:

\(\frac{\overline{\mathrm{IA}_2^2}}{\overline{\mathrm{IA}_1^2}}=\frac{\mathrm n_2^2~\overline{\mathrm{CA}_2^2}}{\mathrm n_1^2~\overline{\mathrm{CA}_1^2}}=\frac{\overline{\mathrm{CA}_2^2}+\overline{\mathrm{CS}^2}-2.\overline{\mathrm{CA}_2}.\overline{\mathrm{CS}}.\cos\omega}{\overline{\mathrm{CA}_1^2}+\overline{\mathrm{CS}^2}-2.\overline{\mathrm{CA}_1}.\overline{\mathrm{CS}}.\cos\omega}\)

cette relation montre qu'étant donné le point A₁, CA₂ dépend de \(\omega\).

Posons : \(\displaystyle { \left \{ \begin{array}{l}\overline{\mathrm{CA}_1}=\mathrm x_1\\\overline{\mathrm{CA}_2}=\mathrm x_2\\\overline{\mathrm{CS}}=\mathrm R\end{array}\right.}\). La relation précédente s'écrit alors :

\(\frac{\mathrm n_2^2~\mathrm x_2^2}{\mathrm n_1^2~\mathrm x_1^2}=\frac{\mathrm x_2^2+\mathrm R^2-2.\mathrm x_2.\mathrm R.\cos\omega}{\mathrm x_1^2+\mathrm R^2-2.\mathrm x_1.\mathrm R.\cos\omega}\)

Il y aura stigmatisme^[2] rigoureux si CA₂ est indépendant de \(\omega\) donc si le rapport \(\frac{\overline{\mathrm{IA}_2}}{\overline{\mathrm{IA}_1}}\) est indépendant de \(\omega\).

on a alors si \(\cos~\omega=1\) : \(~~\frac{\mathrm n_2^2~\mathrm x_2^2}{\mathrm n_1^2~\mathrm x_1^2}=\frac{\mathrm x_2^2+\mathrm R^2-2.\mathrm x_2.\mathrm R}{\mathrm x_1^2+\mathrm R^2-2.\mathrm x_1.\mathrm R}\)

et si \(\cos~\omega=0\) : \(~~\frac{\mathrm n_2^2~\mathrm x_2^2}{\mathrm n_1^2~\mathrm x_1^2}=\frac{\mathrm x_2^2+\mathrm R^2}{\mathrm x_1^2+\mathrm R^2}\)

soit encore : \(~~\frac{\mathrm n_2^2~\mathrm x_2^2}{\mathrm n_1^2~\mathrm x_1^2}=\frac{\mathrm x_2^2+\mathrm R^2-2.\mathrm x_2.\mathrm R}{\mathrm x_1^2+\mathrm R^2-2.\mathrm x_1.\mathrm R}=\frac{\mathrm x_2^2+\mathrm R^2}{\mathrm x_1^2+\mathrm R^2}\)

en appliquant la relation : \(\frac {\mathrm a}{\mathrm b}=\frac {\mathrm c}{\mathrm d} = \frac{\mathrm a~+~\mathrm b}{\mathrm c~+~\mathrm d} = \frac{\mathrm a~-~\mathrm b}{\mathrm c~-~\mathrm d}\) on obtient :

\(~~\frac{\mathrm n_2^2~\mathrm x_2^2}{\mathrm n_1^2~\mathrm x_1^2}=\frac{\mathrm x_2^2+\mathrm R^2-2.\mathrm x_2.\mathrm R}{\mathrm x_1^2+\mathrm R^2-2.\mathrm x_1.\mathrm R}=\frac{\mathrm x_2^2+\mathrm R^2}{\mathrm x_1^2+\mathrm R^2}=\frac{\mathrm x_2}{\mathrm x_1}\) soit encore :

\((\mathrm x_1~-~\mathrm x_2)(\mathrm R^2~-~\mathrm x_1.\mathrm x_2)=0~~~~(1)\) et \(\frac{\mathrm n_2^2}{\mathrm n_1^2}=\frac{\mathrm x_1}{\mathrm x_2}~~~~(2)\)

L'équation (1) a deux solutions possibles :

1) \(\mathrm x_1=\mathrm x_2=\mathrm R\)

les points de la surface du dioptre sont rigoureusement stigmatiques puisque A1 et A2 sont confondus.

ou encore : \(\mathrm x_1=\mathrm x_2=0\)

le dioptre présente un stigmatisme^[2] rigoureux pour le centre qui est lui-même son propre conjugué.

\(\mathrm x_1.\mathrm x_2=\mathrm R^2=\mathrm x_2~\frac{\mathrm n_2^2}{\mathrm n_1^2}~\mathrm x_2\)

\(\mathrm x_2^2=\mathrm R^2~\frac{\mathrm n_1^2}{\mathrm n_2^2}\)

et : \(\overline{\mathrm{CA}_2}=\varepsilon~\overline{\mathrm{CS}}~\frac{\mathrm n_1}{\mathrm n_2}\)

\(\overline{\mathrm{CA}_1}=\varepsilon~\overline{\mathrm{CS}}~\frac{\mathrm n_2}{\mathrm n_1}\)

avec \(\varepsilon=\pm1\)

Si n₂> n₁ alors CA₁ > R et A₁ étant un objet réel^[3] on a \(\varepsilon=-1\) et

\(\overline{\mathrm{CA}_1}=-\overline{\mathrm{CS}}~\frac{\mathrm n_2}{\mathrm n_1}\)

\(\overline{\mathrm{CA}_2}=-\overline{\mathrm{CS}}~\frac{\mathrm n_1}{\mathrm n_2}\)

Ces deux points pour lesquels le stigmatisme est rigoureux sont appelés points de Weïerstrass (ou points d'Young).

Ils sont toujours de nature opposée: si l'un est réel, l'autre est virtuel. Sur chaque diamètre du dioptre existe un couple de tels points.

Soient W₁ et W₂ les points objet et image de Weïerstrass. On a alors :

\(\overline{\mathrm{SW}_1}=\overline{\mathrm{SC}}~\Big(1~+~\frac{\mathrm n_2}{\mathrm n_1}\Big)~~\) et \(~~\overline{\mathrm{SW}_2}=\overline{\mathrm{SC}}~\Big(1~+~\frac{\mathrm n_1}{\mathrm n_2}\Big)\)

\(\overline{\mathrm{S'W}_1}=\overline{\mathrm{SC}}~\Big(1~+~\frac{\mathrm n_2}{\mathrm n_1}\Big)~~\) et \(~~\overline{\mathrm{S'W}_2}=\overline{\mathrm{SC}}~\Big(1~+~\frac{\mathrm n_1}{\mathrm n_2}\Big)\)

\(\frac{\overline{\mathrm{SW}_1}}{\overline{\mathrm{SW}_2}}=\frac{\mathrm n_2}{\mathrm n_1}=-\frac{\overline{\mathrm{S'W}_1}}{\overline{\mathrm{S'W}_2}}=\frac{\mathrm n_1}{\mathrm n_2}\frac{\overline{\mathrm{CW}_1}}{\overline{\mathrm{CW}_2}}=\frac{\overline{\mathrm{IW}_1}}{\overline{\mathrm{IW}_2}}\)

Les quatre points W₁, S', W₂ et S forment une division harmonique^[4] et le lieu des points I tels que le rapport IW₁/IW₂ soit constant est la sphère de diamètre SS'.

Si n₁>n₂, alors A₁ est entre C et S', A₂ est extérieur à SS '; par contre, si n₁<n₂, alors A₁ est extérieur à SS' et A₂ est entre C et S'.

Simuler

L'animation suivante illustre les propriétés de stigmatisme du dioptre sphérique :

Stigmatisme rigoureux

Notes

Image
On appelle image d'un objet par un système optique, l'ensemble des images des points de l'objet.
On appelle image d'un point, la zone de convergence des rayons, après traversée du système optique (image réelle) ou la zone d'où les rayons semblent provenir (image virtuelle). Lorsque cette zone se réduit à un point, le système est dit stigmatique.
En pratique, l'image ressemble à l'objet (sinon le système ne présente pas d'intérêt), elle peut être
- agrandie : plus grande que l'objet ( |grandissement| >1) ;
- rapetissée : plus petite que l'objet ( |grandissement| <1) ;
- droite : dans le même sens que l'objet (grandissement >0) ;
- renversée : dans le sens contraire à l'objet (grandissement <0) ;
- déformée : un système qui déforme parce qu'il n'a pas le même grandissement dans différentes directions provoque une anamorphose (ex : glace déformante) ;
- floue
Stigmatisme
Propriété d'un système optique qui associe un seul point image à un seul point source. Un système peut n'être stigmatique que pour certains points remarquables. Pour un système stigmatique, tous les rayons issus d'un point source du domaine de stigmatisme, convergent vers le (ou proviennent du) même point image. Le stigmatisme est dit rigoureux lorsque le chemin optique entre le point objet et le point image est indépendant du rayon. Le stigmatisme est dit approché lorsque les conditions de Gauss sont nécessaires pour qu'il soit réalisé.
Exemple de système non stigmatique pour le couple de points \(AA'\) : le rayon \(APP"A"\) ne passe pas par \(A'\), image de \(A\) par d'autres rayons.
Un dioptre plan n'est pas stigmatique.
Objet Réel
Un objet réel est un objet situé en avant de la face d'entrée du système optique, dans l'espace objet réel.
Des rayons (bien réel) partent des points qui constituent cet objet vers la face d'entrée du système optique.
Avec une loupe, des lunettes correctrices, ou un télescope, on observe des objets réels.
Dans un système optique composé, une image, formée par une première partie du système, peut être considéré comme un objet réel pour la seconde partie si l'image en question est située en avant de cette seconde partie.
Division harmonique
Quatre points alignés \(A\), \(B\), \(A'\), \(B'\) forment une division harmonique si les points \(A'\) et \(B'\) sont distincts et divisent le segment \(AB\) dans le même rapport : \(\frac{A'B}{A'A}=\frac{B'B}{B'A}\)
L'ensemble des points \(M\) tels que : \(\frac{MA}{MB}=k\)
est le cercle de diamètre \(A'B'\) tel que : \(\frac{A'A}{A'B}=\frac{B'A}{B'B}=k\)