Origine au sommet
Formules de conjugaison
En reprenant la relation : \(\mathrm n_1~\frac{\overline{\mathrm{CA}_1}}{\overline{\mathrm{SA}_1}}=\mathrm n_2~\frac{\overline{\mathrm{CA}_2}}{\overline{\mathrm{SA}_2}}~~\)
on peut l'écrire sous la forme : \(\frac{\mathrm n_1}{\overline{\mathrm{SA}_1}}-\frac{\mathrm n_2}{\overline{\mathrm{SA}_2}}=\frac{\mathrm n_1~-~\mathrm n_2}{\overline{\mathrm{SC}}}\)
Si l'on considère les triangles SA1B1 et SA2B2 on a : \(\tan~\mathrm i_1=\frac{\overline{\mathrm A_1\mathrm B_1}}{\overline{\mathrm{SA}_1}}~\) et \(~\tan~\mathrm i_2=\frac{\overline{\mathrm A_2\mathrm B_2}}{\overline{\mathrm{SA}_2}}\)
on en déduit alors : \(\gamma=\frac{\overline{\mathrm A_2\mathrm B_2}}{\overline{\mathrm A_1\mathrm B_1}}=\frac{\tan~\mathrm i_2}{\tan~\mathrm i_1}~\frac{\overline{\mathrm{SA}_2}}{\overline{\mathrm{SA}_1}}\)
Comme nous nous situons dans l'approximation de Gauss[1] , nous avons : \(\tan~\mathrm i_1\approx\sin~\mathrm i_1\approx\mathrm i_1~~\) et \(~~\tan~\mathrm i_2\approx\sin~\mathrm i_2\approx\mathrm i_2~\)
d'autre part : \(\mathrm n_1~\sin~\mathrm i_1=\mathrm n_2~\sin~\mathrm i_2\) d'où :
\(\gamma=\frac{\mathrm n_1}{\mathrm n_2}~\frac{\overline{\mathrm{SA}_2}}{\overline{\mathrm{SA}_1}}\)