Relation de Lagrange Helmholtz

Si A2B2 est l'image[1] de A1B1 un rayon issu de A1 se réfracte en K en passant par A2. Si l'on choisit le sens trigonométrique comme sens positif des angles on peut écrire :

\(\overline{\mathrm{SK}}=-\overline{\mathrm{SA}_1}~\tan~\theta_1=-\overline{\mathrm{SA}_2}~\tan~\theta_2\)

puisque nous nous plaçons dans l'approximation de Gauss[2] on pourra confondre les tangentes des angles avec les angles exprimés en radians :

\(\overline{\mathrm{SA}_1}~\theta_1=\overline{\mathrm{SA}_2}~\theta_2\)

nous avons vu que :

\(\gamma=\frac{\mathrm n_1}{\mathrm n_2}~\frac{\overline{\mathrm{SA}_2}}{\overline{\mathrm{SA}_1}}=\frac{\overline{\mathrm A_2\mathrm B_2}}{\overline{\mathrm A_1\mathrm B_1}}\)

soit encore : \(\mathrm n_1~.~\overline{\mathrm A_1\mathrm B_1}~.~\overline{\mathrm{SA}_2}=\mathrm n_2~.~\overline{\mathrm A_2\mathrm B_2}~.~\overline{\mathrm{SA}_1}\)

on en déduit facilement le relation de Lagrange-Helmholtz :

\(\mathrm n_1~.~\overline{\mathrm A_1\mathrm B_1}~.~\theta_1=\mathrm n_2~.~\overline{\mathrm A_2\mathrm B_2}~.~\theta_2\)