Dérivée d'une fonction scalaire en un point. Fonction dérivée
Définition :
Dérivée en un point \(x_0\)
Soit \(y = f (x)\) une fonction définie et continue au voisinage d'un point \(x = x_0.\) A un accroissement \(\Delta x\) \((> 0\) ou \(< 0)\) de la variable, correspond un accroissement \(\Delta y\) de la fonction telle que :
\(\boxed{\color{red}\Delta y = f( x_0 + \Delta x) - f (x_0)}\)
On appelle dérivée de la fonction \(f (x)\) au point d'abscisse \(x_0,\) la limite, si elle existe, du rapport de l'accroissement \(\Delta y\) de la fonction à l'accroissement \(\Delta x\) de la variable lorsque ce dernier tend vers zéro :
\(\boxed{\color{red}f'(x_0)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}}\)
Exemple :
\(y = f(x) = (x - 2) (x + 1)\) au point \(x_0 = 1\)
quand \(x_0 \rightarrow x_0 + \Delta x ,~y \rightarrow y + \Delta y = [(x_0 + \Delta x) - 2] [(x_0 + \Delta x) + 1]\)
d'où \(y + \Delta y = [1 + \Delta x - 2] [[1 + \Delta x + 1] = (\Delta x - 1)( \Delta x + 2)\)
et \(\Delta y = (\Delta x - 1)(\Delta x + 2) - (1 - 2)(1 + 1)\)
\(\Delta y = (\Delta x)^2 + \Delta x - 2 - ( - 1)(2)\)
\(\Delta y = (\Delta x)^2 + \Delta x - 2 + 2\)
\(\color{green}\Delta y = (\Delta x)^2 +\Delta x\)
et \(\color{red}f'(1)\color{black}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta x+(\Delta x)^2}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}(1+\Delta x)=\color{red}1\)
Définition : Fonction dérivée sur un intervalle
Une fonction \(f\) définie sur \([ a, b]\) est une fonction dérivable sur \([ a, b],\) si elle est dérivable en tout point \(x_0\in ] a, b[,\) dérivable à droite en \(a\) et dérivable à gauche en \(b.\)
Notation : \(\color{red}y'(x)=f'(x)\) ou \(\color{red}\frac{df(x)}{dx}\)
Tableau des fonctions dérivées
\(\begin{array}{|c|c|}\hline y = f (x)& y' = f '(x)\\\hline x^n& n x^{ n - 1}\\\hline \sin x& \cos x\\\hline \cos x& - \sin x\\\hline \tan x&\frac{1}{\cos^2x}=1+\tan^2x\\\hline cotan x &-\frac{1}{\sin^2 x}=-(1+\textrm{cotan}^2x)\\\hline \arcsin x&\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\\hline \arccos x&-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\\hline \arctan x&\frac{1}{1+x^2}\\\hline arccotan x&-\frac{1}{1+x^2}\\\hline e^x& e ^x\\\hline \ln |x|& 1 / x\\\hline a^ x& a^x \ln a~ (a > 0)\\\hline \log_a x&\frac{1}{x}\log_ae\\\hline sh x& ch x\\\hline ch x& sh x\\\hline th x&\frac{1}{\textrm{ch}^2x}=1-\textrm{th}^2x\\\hline coth x&-\frac{1}{\textrm{sh}^2x}=1-\textrm{coth}^2x\\\hline argsh x&\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\\\hline argch x&\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}~(x>1)\\\hline argth x&\frac{1}{1-x^2}~(|x|<1)\\\hline argcoth x&\frac{1}{1-x^2}~(|x|>1)\\\hline\end{array}\)
Remarque :
Pour les fonctions composées, on remplace \(x\) par la fonction \(u(x)\) et on multiplie le numérateur par la fonction dérivée \(u '(x).\)
Exemple :
\((\cos u(x) ) ' = - \sin u(x) u' (x)\)
\((\arcsin u(x))'=\frac{u'(x)}{\sqrt{1-u^2(x)}}\)
Exemple : Fonction dérivée sur un intervalle
\(y = f(x) = \cos x\)
quand \(x_0 \rightarrow x_0 + \Delta x ,~ y \rightarrow y_0 + \Delta y = \cos (x_0 + \Delta x)\)
d'où \(\Delta y = \cos (x_0 + \Delta x) - \cos x_0\)
\(\Delta y = \cos x_0 \cos \Delta x - \sin x_0 \sin \Delta x - \cos x_0\)
et \(\color{red}f'(x_0)\color{black}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\color{red}-\sin x_0\)
car \(\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\cos \Delta x \sim 1\) et \(\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \sin \Delta x \sim \Delta x\)