Dérivées - Différentielles

Différentielle \(n^{\textrm{ième}}\) d'une fonction.

Soit \(y = \cos x.\) Calculer \(d^3y\)

\(dy = - \sin x = \cos (x+\pi/2) dx\)

\(d^2y = - \cos x = \cos (x+2'\pi/2) (dx)^2\)

et \(d^3y = + \sin x = \cos (x+3'\pi/2) (dx)^3\)

Soit \(y = ex .\) Calculer \(d^ny.\)

Sachant que \((ex)' = (ex)'' = ...= (ex)(n) = ex\)

nous avons : \(d^ny = e^x (dx)^n\)

Différentielle \(n^{\textrm{ième}}\) d'une fonction composée.

Soit y = \(\ln (\sin x).\) Calculer \(d3y.\)

Fonction de la forme \(y=f(u)=\ln u\) avec \(u=\sin x\)

f'où \(d^3y=f'''(u)(du)^3+3f''(u)du~d^2u+f'(u)d^3u\)

avec : \(f'(u)=u^{-1}\);\(f''(u)=-u^{-2}\);\(f'''(u)=2u^{-3}\)

et : \(du = \cos x ~dx\); \(d^2u=-\sin x(dx)^2\);\(d^3u=-\cos x (dx)^3\)

d'où : \(d^3y=2u^{-3}(\cos x~dx)^3+3(-u^{-2})(\cos x ~dx)(-\sin x(dx)^2)+u^{-1}(-\cos x(dx)^3)\)

\(=2(\sin x)^{-3}(\cos^3x)(dx)^3+3(\sin x)^{-2}(\cos x)(\sin x)(dx)^3-(\sin x)^{-1}(\cos x)(dx)^3\)

\(=(2\sin^{-3}x.\cos^3x+3\sin^{-1}x.\cos x-\sin^{-1}x.\cos x)(dx)^3\)

et \(d^3y=\frac{2\cos x}{\sin^3 x}(dx)^3\)

Soit \(y=\cos ax\) \((a:\)constant). Calculer \(d^ny\)

Fonction de la forme : \(y=f(u)=\cos u\) avec \(u=ax\)

avec : \(\begin{array}{l}f'(u)=-\sin u=\cos(u+\frac{\pi}{2})\\\\f''(u)=-\cos u = \cos(u+2\frac{\pi}{2})\\\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\\f^{(n)}(u)=\cos(u+n\frac{\pi}{2})\end{array}\)

et : \(du=d(ax)=a~dx\);\(d^2u=\ldots=d^nu=0\)

d'où :\(dy=f'(u)du=-\sin u ~du =\cos(u+\frac{\pi}{2}).d(ax)=a\cos(ax+\frac{\pi}{2})dx\)

\(d^2y=f''(u)(du)^2+f'(u)d^2u=f''(u)(du)^2\)

\(=-\cos u(du)^2=\cos (u+2\frac{\pi}{2})(du)^2=a^2\cos(ax+2\frac{\pi}{2})(dx)^2\)

\(d^ny=a^n\cos(ax+n\frac{\pi}{2})(dx)^n\)