Dérivées - Différentielles

Différentielle $n^{\textrm{ième}}$ d'une fonction.

Soit $y = \cos x.$ Calculer $d^3y$

$dy = - \sin x = \cos (x+\pi/2) dx$

$d^2y = - \cos x = \cos (x+2'\pi/2) (dx)^2$

et $d^3y = + \sin x = \cos (x+3'\pi/2) (dx)^3$

Soit $y = ex .$ Calculer $d^ny.$

Sachant que $(ex)' = (ex)'' = ...= (ex)(n) = ex$

nous avons : $d^ny = e^x (dx)^n$

Différentielle $n^{\textrm{ième}}$ d'une fonction composée.

Soit y = $\ln (\sin x).$ Calculer $d3y.$

Fonction de la forme $y=f(u)=\ln u$ avec $u=\sin x$

f'où $d^3y=f'''(u)(du)^3+3f''(u)du~d^2u+f'(u)d^3u$

avec : $f'(u)=u^{-1}$;$f''(u)=-u^{-2}$;$f'''(u)=2u^{-3}$

et : $du = \cos x ~dx$; $d^2u=-\sin x(dx)^2$;$d^3u=-\cos x (dx)^3$

d'où : $d^3y=2u^{-3}(\cos x~dx)^3+3(-u^{-2})(\cos x ~dx)(-\sin x(dx)^2)+u^{-1}(-\cos x(dx)^3)$

$=2(\sin x)^{-3}(\cos^3x)(dx)^3+3(\sin x)^{-2}(\cos x)(\sin x)(dx)^3-(\sin x)^{-1}(\cos x)(dx)^3$

$=(2\sin^{-3}x.\cos^3x+3\sin^{-1}x.\cos x-\sin^{-1}x.\cos x)(dx)^3$

et $d^3y=\frac{2\cos x}{\sin^3 x}(dx)^3$

Soit $y=\cos ax$ $(a:$constant). Calculer $d^ny$

Fonction de la forme : $y=f(u)=\cos u$ avec $u=ax$

avec : $\begin{array}{l}f'(u)=-\sin u=\cos(u+\frac{\pi}{2})\\\\f''(u)=-\cos u = \cos(u+2\frac{\pi}{2})\\\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\\f^{(n)}(u)=\cos(u+n\frac{\pi}{2})\end{array}$

et : $du=d(ax)=a~dx$;$d^2u=\ldots=d^nu=0$

d'où :$dy=f'(u)du=-\sin u ~du =\cos(u+\frac{\pi}{2}).d(ax)=a\cos(ax+\frac{\pi}{2})dx$

$d^2y=f''(u)(du)^2+f'(u)d^2u=f''(u)(du)^2$

$=-\cos u(du)^2=\cos (u+2\frac{\pi}{2})(du)^2=a^2\cos(ax+2\frac{\pi}{2})(dx)^2$

$d^ny=a^n\cos(ax+n\frac{\pi}{2})(dx)^n$