Propriétés algébrique des fonctions dérivables
Dérivée d'une somme, d'un produit, d'un quotient
Si \(u(x)\) et \(v(x)\) sont deux fonctions dérivables sur un même intervalle \(I,\) alors :
\(\begin{array}{|c|}\hline \color{red}(u + v)' = u' + v'\\\hline \color{red}(uv) ' = u' v + u v'\\\hline \color{red}(\frac{u}{v})'=\frac{u'v-uv'}{v^2}\\\hline\end{array}\)
Exemple :
Déterminer la dérivée de \(y(x) = \sin 3x + x^2 + e ^{-2x}\)
La fonction étant de la forme \(y = u + v + w,\) nous aurons pour la fonction dérivée :
\(y '(x) = u' + v' + w' = \color{red}3\cos 3x + 2x - 2 e^{-2x}\)
Exemple :
Déterminer la dérivée de \(y(x) = x^3 \cos^2x\)
La fonction étant de la forme \(y = u v,\) nous aurons pour la fonction dérivée :
\(y '(x) = u' v + u v'\)
\(= ( x^3)' \cos^2x + x^3 (\cos^2x)'\)
\(= 3 x^2 \cos^2x + x^3 (2) \cos x (- \sin x)\)
\(\color{red}y '(x) = 3 x^2 \cos^2x - 2 x^3 \sin x \cos x\)
Exemple :
Déterminer la dérivée de \(y(x) = \tan x\)
\(y=\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\)
La fonction de la forme \(u / v\) admet pour fonction dérivée :
\(\color{red}y'(x)\color{black}=(\frac{u}{v})'=\frac{u'v-uv'}{v^2}=(\frac{\sin x}{\cos x})' =\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}=\color{red}\frac{1}{\cos^2x}\)
Dérivée d'une fonction composée
Si les fonctions \(f\) et \(u\) sont des fonctions dérivables, la fonction composée \(F (x) = f [u(x)] = (f \circ u)(x)\) admet pour fonction dérivée :
\(\color{red}F '(x) = f '(u) . u'_x\)
avec \(f '(u)\) : fonction dérivée de \(f (u)\) par rapport à \(u.\)
\(u '(x)\) : fonction dérivée de \(u(x)\) par rapport à \(x.\)
Exemple :
Déterminer la dérivée de \(y(x) = \ln ( 3 x^2 + 5)\)
La fonction est de la forme : \(F(x) = f [u(x)] = (f \circ u)(x)\)
avec \(u(x) = 3x^2 + 5,\) et \(f (x)\) la fonction logarithme népérien,
d'où
\(\color{red}y'\color{black}=[\ln(3x^2+5)]'=\frac{(3x^2+5)'}{3x^2+5}=\color{red}\frac{6x}{3x^2+5}\)
Dérivée d'une fonction réciproque
Si la fonction \(f\) est continue, strictement monotone sur un intervalle \(I,\) dérivable sur \(I,\) dérivable sur \(I\) et si \(\forall x\in I,~f'(x)\neq0,\)alors la fonction réciproque \(f^{-1}\)est dérivable sur \(f(I)\) et admet pour fonction dérivée :
\((f^{-1})(y)=\frac{1}{f'[f^{-1}(y)]}~~\forall y\in f(I)\)
En effet on peut écrire : \(x\xrightarrow{f}y=y=f(x)\xrightarrow{f^{-1}}x=f^{-1}(y)\)
C'est-à-dire \(x=f^{-1}(y)=f^{-1}[f(x)]=f^{-1}\circ f(x)\): (application identité)
Par application de la dérivation des fonctions composées : \([f^{-1}(f(x))]'=(f^{-1}(y))'*f'(x)=(x)'=1\)
\((f^{-1})'(y)=\frac{1}{f'(x)}=\frac{1}{f'[f^{-1}(y)]}\)
Pour une variable \(x,\) on posera pour la dérivée de la fonction réciproque :
\(\color{red}\forall x \in f(I)~~~~(f^{-1})'(x)=\frac{1}{f'[f^{-1}(x)]}\)
Exemple : Fonctions réciproques des fonctions circulaires
fonction \(\arcsin x\)
Soit \(I=]-\frac{\pi}{2},+\frac{\pi}{2}[\); \(f=\sin\) ;\(f(I)=]-1 ;+1[\) et\(f^{-1}=\arcsin\)
Or \(f' =\cos,\) donc \((f^{-1})'(x)=\frac{1}{\cos[\arcsin x]} = \frac{+1}{\sqrt{1-\sin^2(\arcsin x)}}\)
pour \(x\in]-1 ;+1[\)
Remarque : La fonction \((\arcsin x)\) est positive car \(\arcsin x\in]-\frac{\pi}{2},+\frac{\pi}{2}[\)
Fonction \(\arccos x\)
La fonction dérivée \(\boxed{(\arccos x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}\)pour \(x\in]-1 ;+1[\)se déduit de la relation :\(\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi}{2}\)
Fonction \(\arctan x\)
Soit \(I=]-\frac{\pi}{2},+\frac{\pi}{2}[\);\(f=\tan\);\(f(I)=\mathbb R\) et \(f^{-1}=\arctan\)
Or \(f'=\frac{1}{\cos^2}=1+\tan^2,\) donc \((f^{-1})'(x)=\frac{1}{1+\tan^2(\arctan x)}\)
\(\boxed{(\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2}}\) pour \(x\in\mathbb R\)