Formule de Taylor. Formule de Mac-Laurin. Développements limités usuels
Définition :
Une fonction \(f,\) définie et continue au voisinage de \(x_0,\) admet un développement limité d'ordre \(n,\) au voisinage de \(x_0 ,\) s'il existe un polynôme \(P(x - x_0)\) de degré \(n\) au plus tel que :
\(\begin{array}{|c|} \hline \color{red}f(x)=P(x-x_0)+(x-x_0)^n\varepsilon(x)~~\textrm{avec}~~\lim_{x\rightarrow x_0}\varepsilon(x)=0\\ou\\\color{red}f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+\ldots+a_n(x-x_0)^n+(x-x_0)^n\varepsilon(x)\\\color{red}\textrm{avec}~~\lim_{x\rightarrow x_0}\varepsilon(x)=0 \\\hline\end{array}\)
Formule de Taylor
Si la fonction \(f\) est définie, continue et dérivable jusqu'à l'ordre \(n\) sur un intervalle \(I\) contenant \(x_0,\) alors le développement limité de \(f,\) à l'ordre \(n,\) au voisinage de \(x_0\) s'écrit :
\(\begin{array}{|c|}\hline \color{red}f(x)=f(x_0)+\frac{(x-x_0)}{1!}f'(x_0)+\frac{(x-x_0)^2}{2!}f''(x_0)+\ldots+\frac{(x-x_0)^n}{n!}f^{(n)}(x_0)+(x-x_0)^n\varepsilon(x-x_0)\\\color{red}\textrm{avec}~~\lim_{x\rightarrow x_0}\varepsilon(x-x_0)=0\\\hline\end{array}\)
Exemple :
Déterminer le développement limité du polynôme \(P(x) = x^3 - 8 x^2 + 5x + 3\) suivant les puissances de \((x - 2)\)
Par définition
\(P(x)=P(2)+(x-2)P'(2)+\frac{(x-2)^2}{2!}P''(2)+\frac{(x-2)^3}{3!}P'''(2)\) \(\textrm{car}~~P^{(4)} (2) = \ldots = P^{(n)} (2) = 0\)
or \(P(2) = - 11\)
\(P'(x) = 3 x^2 - 16 x+5\) et \(P'(2) = - 15\)
\(P''(x) = 6x - 16\) et \(P''(2) = - 4\)
\(P'''(x) = 6\)
d'où
\(\color{red}P(x) = - 11 - 15 (x - 2) - 2 (x - 2)^2 + (x - 2)^3\)
Formule de Mac Laurin
Quand le développement de Taylor s'effectue au voisinage de \(x_0 = 0,\) nous obtenons la formule de Mac Laurin :
\(\boxed{\color{red}f(x)=f(0)+\frac{x}{1!}f'(0)+\frac{x^2}{2!}f''(0)+\ldots+\frac{x^n}{n!}f^{(n)}(0)+\frac{x^n}{n!}\varepsilon(x)}\)
Exemple :
Déterminer le développement limité de Mac Laurin de la fonction \(f(x) = \cos x.\)
\(\begin{array}{l l}f (x) = \cos x& f (0) =1\\f ' (x) = - \sin x& f '(0) = 0\\f '' (x) = - \cos x& f ''(0) = - 1\\f '''(x) = + \sin x& f '''(0) = 0\\f^{(4)}(x) = + \cos x & f^{(4)}(0) = 0\\\dots\end{array}\)
d'où
\(\color{red}\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \ldots+(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+x^{2n+1}\varepsilon(x)\)
Tableau des DL usuels de Mac Laurin
\((1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\ldots+\frac{\alpha(\alpha-1)\ldots(\alpha-n+1)}{n!}x^n+x^n\varepsilon(x)\)
\(\textrm{Pour}~~\alpha=\frac{1}{2}~~\sqrt{1+x}=1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^2+\ldots+(-1)^{n-1}\frac{1*3*5\ldots(2n-3)x^n+x^n\varepsilon(x)}{2*4*6\ldots2n}\)
\(\textrm{Pour}~~\alpha=-\frac{1}{2}~~\frac{1}{\sqrt{1+x}}=1-\frac{1}{2}x+\frac{3}{8}x^2+\ldots+(-1)^n\frac{1*3*5\ldots(2n-1)}{2*4*6\ldots2n}x^n+x^n\varepsilon(x)\)
\(\textrm{Pour}~~\alpha=-1~~\frac{1}{1+x}=1-x+x^2+\ldots+(-1)^nx^n+x^n\varepsilon(n)\)
\(e^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\ldots+\frac{x^n}{n!}+x^n\varepsilon(x)\)
\(\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2} +\frac{x^3}{3}+\ldots+(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+x^n\varepsilon(x)\)
\(\sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!} + \ldots+(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+x^{2n+2}\varepsilon(x)\)
\(\cos x = 1-\frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!}+\ldots+(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+x^{2n+1}\varepsilon(x)\)
\(\tan x = x+\frac{x^3}{3} + \frac{2}{15}x^5+\frac{17}{315}x^7+x^7\varepsilon(x)\)
\(\arcsin x = x+\frac{1}{2}\frac{x^3}{3}+\frac{1\times3}{2\times4}\frac{x^5}{5}+\ldots+\frac{1\times3\times\ldots\times(2n-1)}{2\times4\times\ldots\times(2n)}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}+x^{2n+2}\varepsilon(x)\)
\(\arccos x =\frac{\pi}{2} - x-\frac{1}{2}\frac{x^3}{3}-\ldots-\frac{1\times3\times\ldots\times(2n-1)}{2\times4\times\ldots\times(2n)}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}+x^{2n+2}\varepsilon(x)\)
\(\arctan x = x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\ldots+(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}+x^{2n+2}\varepsilon(x)\)
\(\textrm{sh}x=\frac{x}{1!}+\frac{x^3}{3!}+\ldots+\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+x^{2n+2}\varepsilon(x)\)
\(\textrm{ch}x=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\ldots+\frac{x^{2n}}{(2n)!}+x^{2n+1}\varepsilon(x)\)
\(\textrm{th}x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{2}{15}x^5-\frac{17}{315}x^7+x^7\varepsilon(x)\)
\(\textrm{argsh} x=x-\frac{1}{6}x^3+\frac{3}{40}x^5+\ldots+(-1)^n\frac{1*3*5\ldots(2n-1)}{2*4*6\ldots2n}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}+x^{2n+2}\varepsilon(x)\)
\(\textrm{argth} x = x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\ldots+\frac{x^{2n+1}}{2n+1}+x^{2n+2}\varepsilon(x)\)