Dérivées d'ordre supérieur. Formule de Leibniz.

DéfinitionDérivées d'ordres supérieures

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I \in\mathbb R. Si f ' est dérivable sur I, sa fonction dérivée f'' (ou f^{(2)}) est appelée dérivée seconde de f.

On peut continuer le processus de dérivation et définir une relation de récurrence pour calculer la fonction dérivée f^{(n)} à l'ordre n.

La fonction f est de classe C^n sur l'intervalle I si f^{(n)} existe sur I en étant continue sur I.

Elle sera de classe C^{\infty} si elle est indéfiniment dérivable.

Exemple

Déterminer la dérivée n^{\textrm{ième}} d'un fonction

Soit y_1 = \sin x

y'=\cos x = \sin(x+\pi/2)

y''=-\sin x =\sin(x+2\times\pi/2)

y'''=-\cos x=\sin(x+3\times\pi/2)

\cdots

y^{(n)}=\ldots=\color{red}\sin(x+n\times\pi/2)

Soit y_2 = \ln (1 + x)

y'=\frac{(1+x)'}{1+x}=\frac{1}{1+x}=(1+x)^{-1}

y''=-1(1+x)^{-2}

y'''=(-1)(-2)(1+x)^{-3}

\cdots

\color{red}y^{(n)} = (-1)^{n-1}\frac{(n-1) !}{(1+x)^n}

Formule de Leibniz

Si les fonctions u(x) et v(x) admettent des dérivées à l'ordre n sur un intervalle I, alors u(x) v(x) est dérivable à l'ordre n et son expression sera :

\color{red}(uv)^{(n)}(x)=\sum_{k=0}^nC_n^ku^{(k)}(x)v^{(n-k)}(x)

Exemple

Calculer la dérivée n^{\textrm{ième}} de la fonction y = x^2 e^{-2x} par la formule de Leibniz

(uv)^{(n)} =C_n^0u^0v^{(n)}+C_n^1u'v^{(n-1)}+C_n^2u''v^{(n-2)} + \ldots

en posant

C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}, avec C_n^0 = 1;C_n^1 = n;C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}

comme

u = x^2 ; u' = 2x ; u'' = 2 ; u''' = \ldots = u^{(n)} = 0 pour n \geq 3

v = e^{-2x} ; v' = -2 e ^{-2x} ; v'' = (- 2)^2 e^{-2x} ; ... ; v^{(n)} = (-2)^n e^{-2x}

nous avons :

y^{(n)}(x)=(-2)^ne^{-2x}x^2+n(-2)^{n-1}e^{-2x}2x+\frac{n(n-1)}{2}(-2)^{n-2}e^{-2x}

d'où

\color{red}y^{(n)}(x)=2^{n-1}e^{-2x}[2(-1)^nx^2+2n(-1)^{n-1}x+\frac{n(n-1)}{2}(-1)^{n-2}]