Dérivées d'ordre supérieur. Formule de Leibniz.
Définition : Dérivées d'ordres supérieures
Soit \(f\) une fonction dérivable sur un intervalle \(I \in\mathbb R.\) Si \(f '\) est dérivable sur \(I,\) sa fonction dérivée \(f''\) (ou \(f^{(2)})\) est appelée dérivée seconde de \(f.\)
On peut continuer le processus de dérivation et définir une relation de récurrence pour calculer la fonction dérivée \(f^{(n)}\) à l'ordre \(n.\)
La fonction \(f\) est de classe \(C^n\) sur l'intervalle \(I\) si \(f^{(n)}\) existe sur \(I\) en étant continue sur \(I.\)
Elle sera de classe \(C^{\infty}\) si elle est indéfiniment dérivable.
Exemple :
Déterminer la dérivée \(n^{\textrm{ième}}\) d'un fonction
Soit \(y_1 = \sin x\)
\(y'=\cos x = \sin(x+\pi/2)\)
\(y''=-\sin x =\sin(x+2\times\pi/2)\)
\(y'''=-\cos x=\sin(x+3\times\pi/2)\)
\(\cdots\)
\(y^{(n)}=\ldots=\color{red}\sin(x+n\times\pi/2)\)
Soit \(y_2 = \ln (1 + x)\)
\(y'=\frac{(1+x)'}{1+x}=\frac{1}{1+x}=(1+x)^{-1}\)
\(y''=-1(1+x)^{-2}\)
\(y'''=(-1)(-2)(1+x)^{-3}\)
\(\cdots\)
\(\color{red}y^{(n)} = (-1)^{n-1}\frac{(n-1) !}{(1+x)^n}\)
Formule de Leibniz
Si les fonctions \(u(x)\) et \(v(x)\) admettent des dérivées à l'ordre \(n\) sur un intervalle \(I,\) alors \(u(x) v(x)\) est dérivable à l'ordre \(n\) et son expression sera :
\(\color{red}(uv)^{(n)}(x)=\sum_{k=0}^nC_n^ku^{(k)}(x)v^{(n-k)}(x)\)
Exemple :
Calculer la dérivée \(n^{\textrm{ième}}\) de la fonction \(y = x^2 e^{-2x}\) par la formule de Leibniz
\((uv)^{(n)} =C_n^0u^0v^{(n)}+C_n^1u'v^{(n-1)}+C_n^2u''v^{(n-2)} + \ldots\)
en posant
\(C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!},\) avec \(C_n^0 = 1\);\(C_n^1 = n\);\(C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}\)
comme
\(u = x^2\) ; \(u' = 2x\) ; \(u'' = 2\) ; \(u''' = \ldots = u^{(n)} = 0\) pour \(n \geq 3\)
\(v = e^{-2x}\) ; \(v' = -2 e ^{-2x}\) ; \(v'' = (- 2)^2 e^{-2x}\) ; ... ; \(v^{(n)} = (-2)^n e^{-2x}\)
nous avons :
\(y^{(n)}(x)=(-2)^ne^{-2x}x^2+n(-2)^{n-1}e^{-2x}2x+\frac{n(n-1)}{2}(-2)^{n-2}e^{-2x}\)
d'où
\(\color{red}y^{(n)}(x)=2^{n-1}e^{-2x}[2(-1)^nx^2+2n(-1)^{n-1}x+\frac{n(n-1)}{2}(-1)^{n-2}]\)