Dérivées d'ordre supérieur. Formule de Leibniz.

DéfinitionDérivées d'ordres supérieures

Soit \(f\) une fonction dérivable sur un intervalle \(I \in\mathbb R.\) Si \(f '\) est dérivable sur \(I,\) sa fonction dérivée \(f''\) (ou \(f^{(2)})\) est appelée dérivée seconde de \(f.\)

On peut continuer le processus de dérivation et définir une relation de récurrence pour calculer la fonction dérivée \(f^{(n)}\) à l'ordre \(n.\)

La fonction \(f\) est de classe \(C^n\) sur l'intervalle \(I\) si \(f^{(n)}\) existe sur \(I\) en étant continue sur \(I.\)

Elle sera de classe \(C^{\infty}\) si elle est indéfiniment dérivable.

Exemple

Déterminer la dérivée \(n^{\textrm{ième}}\) d'un fonction

Soit \(y_1 = \sin x\)

\(y'=\cos x = \sin(x+\pi/2)\)

\(y''=-\sin x =\sin(x+2\times\pi/2)\)

\(y'''=-\cos x=\sin(x+3\times\pi/2)\)

\(\cdots\)

\(y^{(n)}=\ldots=\color{red}\sin(x+n\times\pi/2)\)

Soit \(y_2 = \ln (1 + x)\)

\(y'=\frac{(1+x)'}{1+x}=\frac{1}{1+x}=(1+x)^{-1}\)

\(y''=-1(1+x)^{-2}\)

\(y'''=(-1)(-2)(1+x)^{-3}\)

\(\cdots\)

\(\color{red}y^{(n)} = (-1)^{n-1}\frac{(n-1) !}{(1+x)^n}\)

Formule de Leibniz

Si les fonctions \(u(x)\) et \(v(x)\) admettent des dérivées à l'ordre \(n\) sur un intervalle \(I,\) alors \(u(x) v(x)\) est dérivable à l'ordre \(n\) et son expression sera :

\(\color{red}(uv)^{(n)}(x)=\sum_{k=0}^nC_n^ku^{(k)}(x)v^{(n-k)}(x)\)

Exemple

Calculer la dérivée \(n^{\textrm{ième}}\) de la fonction \(y = x^2 e^{-2x}\) par la formule de Leibniz

\((uv)^{(n)} =C_n^0u^0v^{(n)}+C_n^1u'v^{(n-1)}+C_n^2u''v^{(n-2)} + \ldots\)

en posant

\(C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!},\) avec \(C_n^0 = 1\);\(C_n^1 = n\);\(C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}\)

comme

\(u = x^2\) ; \(u' = 2x\) ; \(u'' = 2\) ; \(u''' = \ldots = u^{(n)} = 0\) pour \(n \geq 3\)

\(v = e^{-2x}\) ; \(v' = -2 e ^{-2x}\) ; \(v'' = (- 2)^2 e^{-2x}\) ; ... ; \(v^{(n)} = (-2)^n e^{-2x}\)

nous avons :

\(y^{(n)}(x)=(-2)^ne^{-2x}x^2+n(-2)^{n-1}e^{-2x}2x+\frac{n(n-1)}{2}(-2)^{n-2}e^{-2x}\)

d'où

\(\color{red}y^{(n)}(x)=2^{n-1}e^{-2x}[2(-1)^nx^2+2n(-1)^{n-1}x+\frac{n(n-1)}{2}(-1)^{n-2}]\)