Dérivées d'ordre supérieur. Formule de Leibniz.
Définition : Dérivées d'ordres supérieures
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I \in\mathbb R. Si f ' est dérivable sur I, sa fonction dérivée f'' (ou f^{(2)}) est appelée dérivée seconde de f.
On peut continuer le processus de dérivation et définir une relation de récurrence pour calculer la fonction dérivée f^{(n)} à l'ordre n.
La fonction f est de classe C^n sur l'intervalle I si f^{(n)} existe sur I en étant continue sur I.
Elle sera de classe C^{\infty} si elle est indéfiniment dérivable.
Exemple :
Déterminer la dérivée n^{\textrm{ième}} d'un fonction
Soit y_1 = \sin x
y'=\cos x = \sin(x+\pi/2)
y''=-\sin x =\sin(x+2\times\pi/2)
y'''=-\cos x=\sin(x+3\times\pi/2)
\cdots
y^{(n)}=\ldots=\color{red}\sin(x+n\times\pi/2)
Soit y_2 = \ln (1 + x)
y'=\frac{(1+x)'}{1+x}=\frac{1}{1+x}=(1+x)^{-1}
y''=-1(1+x)^{-2}
y'''=(-1)(-2)(1+x)^{-3}
\cdots
\color{red}y^{(n)} = (-1)^{n-1}\frac{(n-1) !}{(1+x)^n}
Formule de Leibniz
Si les fonctions u(x) et v(x) admettent des dérivées à l'ordre n sur un intervalle I, alors u(x) v(x) est dérivable à l'ordre n et son expression sera :
\color{red}(uv)^{(n)}(x)=\sum_{k=0}^nC_n^ku^{(k)}(x)v^{(n-k)}(x)
Exemple :
Calculer la dérivée n^{\textrm{ième}} de la fonction y = x^2 e^{-2x} par la formule de Leibniz
(uv)^{(n)} =C_n^0u^0v^{(n)}+C_n^1u'v^{(n-1)}+C_n^2u''v^{(n-2)} + \ldots
en posant
C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}, avec C_n^0 = 1;C_n^1 = n;C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}
comme
u = x^2 ; u' = 2x ; u'' = 2 ; u''' = \ldots = u^{(n)} = 0 pour n \geq 3
v = e^{-2x} ; v' = -2 e ^{-2x} ; v'' = (- 2)^2 e^{-2x} ; ... ; v^{(n)} = (-2)^n e^{-2x}
nous avons :
y^{(n)}(x)=(-2)^ne^{-2x}x^2+n(-2)^{n-1}e^{-2x}2x+\frac{n(n-1)}{2}(-2)^{n-2}e^{-2x}
d'où
\color{red}y^{(n)}(x)=2^{n-1}e^{-2x}[2(-1)^nx^2+2n(-1)^{n-1}x+\frac{n(n-1)}{2}(-1)^{n-2}]