Équations différentielles à coefficients constants sans 2ème membre
Partie
Question
Déterminer, en fonction du paramètre \(m \in \mathbb{R}\), l'ensemble des solutions sur \(\mathbb{R}\) de l'équation différentielle:
\(y" + (1 - 2m)y' - 2 my = 0~~(\textrm{E}_{\textrm{m}})\)
Aide simple
Déterminer, en fonction du paramètre \(m\), le signe du discriminant \(\Delta\) de l'équation caractéristique de l'équation différentielle (\(\textrm{E}_{\textrm{m}}\)).
Aide détaillée
L'équation caractéristique de l'équation différentielle (\(\textrm{E}_{\textrm{m}}\)) admet pour :
\(m = -\frac{1}{2}\) une racine double \((-1)\).
\(m \neq -\frac{1}{2}\) deux racines réelles disctinctes \((-1)\) et \(2m\).
Solution simple
Equation caractéristique de (\(\textrm{E}_{\textrm{m}}\)) : \(r^{2} + (1 - 2m)r - 2m = 0\) avec pour discriminant \(\Delta = (1+2m)^{2}\).
Pour \(m = - \frac{1}{2}\), \(\Delta = 0\) et \(r_{0} = -1\) d'où \(y(x) = (K_{1}x + K_{2})e^{-x}\).
Pour \(m \neq - \frac{1}{2}\), \(\Delta > 0\) et \(r_{1} = -1\) et \(r_{2} = 2m\) d'où \(y(x) = K_{3}e^{-x} + K_{4}e^{2mx}\).
Solution détaillée
L'équation caractéristique de l'équation différentielle (\(\textrm{E}_{\textrm{m}}\)) est :
\(r^{2} + (1 - 2m)r - 2m = 0\) avec \(\Delta = (1 - 2m)^{2} - 4(-2m) = (1 + 2m)^{2} \geq 0\)
1er cas : \(m=-\frac{1}{2}\), \(\Delta = 0\), l'équation caractéristique a une racine double \(r_{0} = -1\), d'où les solutions sur \(\mathbb{R}\):
\(y(x) = (K_{1}x + K_{2})e^{-x}\), \((K_{1}, K_{2}) \in \mathbb{R}\)
2ème cas : \(m \neq -\frac{1}{2}\), \(\Delta > 0\), l'équation caractéristique a deux racines réelles distinctes \(r_{1} = -1\) et \(r_{2} = 2m\), d'où les solutions sur \(\mathbb{R}\):
\(y(x) = K_{3}e^{-x} + K_{4}e^{2mx}\), \((K_{3}, K_{4}) \in \mathbb{R}\)
Question
Pour tout réel \(m\), trouver l'unique solution \(f_{m}\) de \((\textrm{E}_{\textrm{m}})\) telle que : \(f_{m} (0) = 3\) et \(f'_{m}(0) = -2\).
Aide simple
Chercher pour \(m = - \frac{1}{2}\) et \(m \neq \frac{1}{2}\), les fonctions dérivées \(y'(x)\) afin d'appliquer la condition \(f'_{m}(0) = 2\).
Aide détaillée
Déterminer les constantes \(K_{1}\) et \(K_{2}\) (pour \(m = -\frac{1}{2}\)) et \(K_{3}\) et \(K_{4}\) (pour \(m \neq -\frac{1}{2}\)) par application des conditions \(f_{m}(0) = 3\) et \(f'_{m}(0) = -2\).
Solution simple
Pour \(m = -\frac{1}{2}\) ; \(K_{1} = 1\) et \(K_{2} = 3\) d'où \(f_{-1/2}(x) = (x+3)e^{-x}\)
Pour \(m \neq -\frac{1}{2}\), \(K_{3} = \frac{2(1 + 3m)}{1+2m}\) et \(K_{4} = \frac{1}{1 + 2m}\) d'où \(f_{m}(x) = \frac{1}{1 + 2m} \left[ 2(1 + 3m)e^{-x} + e^{2mx} \right]\)
Solution détaillée
1er cas : \(m = -\frac{1}{2}\)
\(y(x) = (K_{1}x + K_{2})e^{-x}\) et \(y'(x) = K_{1}e^{-x} - (K_{1}x + K_{2})e^{-x}\)
Pour \(x = 0\), \(y(0) = K_{2} = 3\) et \(y'(0) = K_{1} - K_{2} = -2 \Leftrightarrow K_{1} = 1\)
Donc, la fonction \(f_{-1/2}\) solution de l'équation (\(E_{-1/2}\)), telle que \(f_{m}(0) = 3\) et \(f'_{m}(0) = -2\), est définie par:
\(\forall x \in \mathbb{R}\quad f_{-1/2}(x) = (x+3)e^{-x}\)
2ème cas : \(m \neq -\frac{1}{2}\)
\(y(x) = K_{3}e^{-x} + K_{4}e^{2mx}\) et \(y'(x) = -K_{3} e^{-x} + 2m K_{4}e^{2mx}\)
Pour \(x = 0\), \(y(0) = K_{3} + K_{4} = 3\) et \(y'(0) = -K_{3} + 2mK_{4} = -2\)
La résolution du système : \(\left\{ \begin{array}{l} K_{3} + K_{4} = 3 \\ -K_{3} + 2mK_{4} = -2 \end{array} \right.\) conduit à :
\(K_{3} = 2~\frac{1 + 3m}{1 + 2m}\)
\(K_{4} = \frac{1}{1 + 2m}\)
Donc la fonction \(f_{m}\), pour \(m \neq -\frac{1}{2}\), de l'équation (\(\textrm{E}_{\textrm{m}}\)) et telle que \(f_{m}(0) = 3\) et \(f'_{m}(0) = -2\), est définie par :
\(\forall x \in \mathbb{R} \quad f_{m}(x) = \frac{1}{1 + 2m}~\left[ 2(1 + 3m) e^{-x} + e^{2mx} \right]\)
Question
En déduire que \(\underset{\begin{array}{l}m \rightarrow -1/2 \\ m \neq - 1/2 \end{array}}{\textrm{lim}}~f_{m}(x) = f_{-1/2}~(x)\).
Aide simple
Poser \(m = -\frac{1}{2} + h\) avec \(h \rightarrow 0\) quand \(m \rightarrow - \frac{1}{2}\).
Appliquer ce changement de variable dans \(f_{m}(x)\).
Aide détaillée
Utiliser la fonction \(e^{2hx}\) le développement limité de Mac Laurin.
Solution simple
Après substitution de \(m\) par \(\left( -\frac{1}{2} + h \right)\) dans \(f_{m}(x)\), nous obtenons :
\((1 + 2m) = 2h\) ; \((1 + 3m) = -\frac{1}{2} + 3h\) ; \(e^{2mx} = e^{-x}~e^{2hx}\).
En considérant les premiers termes du DL de Mac Laurin, la fonction \(e^{2hx}\) est équivalente à:
\(e^{2hx} = 1 + 2hx + \frac{(2hx)^{2}}{2} + ...\)
D'où \(\underset{\begin{array}{l}m \rightarrow -1/2 \\ m \neq - 1/2 \end{array}}{\textrm{lim}}~f_{m}(x) = (x+3) e^{-x} = f_{-1/2}~(x)\).
Solution détaillée
Dans l'expression de \(f_{m}(x)\), posons : \(m=-\frac{1}{2} + h\) ; d'où :
\(1 + 2m = 1 + 2 \left( -\frac{1}{2} + h \right) = 2h\)
\(1 + 3m = 1 + 3 \left( -\frac{1}{2} + h \right) = -\frac{1}{2} + 3h\)
\(e^{2mx} = e^{2 \left( -\frac{1}{2} + h\right) x} = e^{-x}~e^{2hx} \approx e^{-x}~(1 + 2hx + \frac{(2hx)^{2}}{2} + ... )\) par application du D.L. de Mac Laurin à la fonction \(e^{2hx}\).
L'expression \(f_{m}(x)\) devient :
\(\begin{array}{r c l} f_{-\frac{1}{2} + h}(x) & = & \frac{1}{2h}~\left[ 2 \left( -\frac{1}{2} + 3h \right)e^{-x} + \Big( 1 + 2hx + \frac{(2hx)^{2}}{2} + ... \Big)e^{-x} \right] \\ & = & \frac{1}{2h}~\left[ 2 e^{-x} \left( 2hx + 6h + 2h^{2} x^{2} + ... \right) \right] \end{array}\)
et \(\underset{\begin{array}{l}m \rightarrow -1/2 \\ m \neq - 1/2 \end{array}}{\textrm{lim}}~f_{m}(x) = \underset{h \rightarrow 0}{\textrm{lim}}~f_{-\frac{1}{2} + h}(x) = (x+3) e^{-x} = f_{-1/2}~(x)\).