Équations différentielles du 2ème ordre

L'équation caractéristique \(r^{2} + 1 = 0\) admet pour racines \(\pm j\), d'où la solution générale de \(y" + y = 0\quad (\textrm{E}_{0})\) :

\(y_{0}(x) = A \cos{x} + B \sin{x}\)

La solution particulière de (\(\textrm{E}\))est cherchée sous la forme:

\(y_{1}(x) = \lambda \cos{\omega x} + µ \sin{\omega x}\)

Après substitution de \(y_{1}(x)\) dans (\(\textrm{E}\)), nous trouvons:

\(y_{1}(x) = \frac{1}{1 - \omega^{2}}~\cos{\omega x}\)

Recherche de la solution générale \(y_{0}(x)\) de l'équation différentielle homogène associée (\(\textrm{E}_{0}\)) : y" + y = 0.

L'équation caractéristique \(r^{2} + 1 = 0\) admet pour racines \(\pm j\), d'où la solution générale de \((\textrm{E}_{0}) : y_{0}(x) = A \cos{x} + B \sin{x}\)

Puisque \(\pm j \omega\) n'est pas racine de l'équation caractéristique, on cherche la solution particulière \(y_{1}(x)\) sous la forme:

\(y_{1}(x) = \lambda \cos{\omega x} + µ \sin{\omega x}\),

d'où \(y'_{1}(x) = -\lambda \omega \sin{\omega x} + µ \omega^{2} \cos{\omega x}\),

et \(y"_{1}(x) = -\lambda \omega^{2} \cos{\omega x} - µ \omega^{2} \sin{\omega x}\).

Portons les expressions de \(y_{1}(x)\) et \(y"_{1}(x)\) dans (\(\textrm{E}\)), il vient:

\(-\lambda \omega^{2} \cos{\omega x} - µ \omega^{2} \sin{\omega x} + \lambda \cos{\omega x} + µ \sin{\omega x} = \cos{\omega x}\)

\(\lambda ( 1 - \omega^{2}) \cos{\omega x} + µ( 1 - \omega^{2}) \sin{\omega x} = \cos{\omega x}\)

Par identification, pour \(\omega \neq \pm 1\) : \(\lambda = \frac{1}{1 - \omega^{2}}\) et \(µ = 0\),

d'où la solution particulière de (\(\textrm{E}\)): \(y_{1}(x) = \frac{1}{1 - \omega^{2}}~\cos{\omega x}\)

et la solution générale de (\(\textrm{E}\)): \(y(x) = y_{0}(x) + y_{1}(x) = A \cos{x} + B \sin{x} + \frac{1}{1 - \omega^{2}}~\cos{\omega x}\)

La solution générale \(y_{0}(x)\) de (\(\textrm{E}_{0}\)) : \(y" + y = 0\) est de la forme:

\(y_{0}(x) = A \cos{x} + B \sin{x}\)

La solution particulière \(y_{1}(x)\), cherchée sous la forme:

\(y_{1}(x) = x \Big( \lambda \cos{x} + µ \sin{x} \Big)\) devient: \(y_{1}(x) = \frac{1}{2}x \sin{x}\).

L'équation caractéristique \(r^{2} + 1 = 0\) admet pour racines \(\pm j\), la solution générale de: \(y" + y = 0\) est donc:

\(y_{0}(x) = A \cos{x} + B \sin{x}\).

Puisque \(\pm j\) est racine de l'équation caractéristique, on cherche la solution particulière \(y_{1}(x)\) sous la forme:

\(y_{1}(x) = x \Big( \lambda \cos{x} + µ \sin{x} \Big)\),

d'où: \(y'_{1}(x) = \lambda \cos{x} + µ \sin{x} + x \Big(-\lambda \sin{x} + µ \cos{x} \Big)\)

\(\begin{array}{r c l}y"_{1}(x) & = & -\lambda \sin{x} + µ\cos{x} - \lambda \sin{x} + µ \cos{x} + x ( -\lambda \cos{x} - µ \sin{x}) \\ & = & -2 \lambda \sin{x} + 2µ \cos{x} - x \Big( \lambda \cos{x} + µ \sin{x}\Big) \end{array}\)

Portons les expressions de \(y_{1}(x)\) et \(y"_{1}(x)\) dans (\(\textrm{E}\)), il vient:

\(-2 \lambda \sin{x} + 2µ \cos{x} - x \Big( \lambda \sin{x} + µ \cos{x} \Big) + x \Big( \lambda \cos{x} + µ \sin{x} \Big) = \cos{x}\)

\(-2 \lambda \sin{x} + 2 µ \cos{x} = \cos{x}\)

Par identification pour \(\omega \neq \pm 1\) : \(2µ = 1 \Leftrightarrow µ = \frac{1}{2}\) et \(\lambda = 0\)

D'où la solution particulière de (\(\textrm{E}\)): \(y_{1}(x) = \frac{1}{2} x \sin{x}\)

Et la solution générale de (\(\textrm{E}\)): \(y(x) = y_{0}(x) + y_{1}(x) = A \cos{x} + B \sin{x} + \frac{1}{2} x \sin{x}\)