Équations différentielles à coefficients variables avec 2ème membre
Partie
Question
Soit l'équation différentielle d'Euler: \(x^{2} y" + x y' - 4y = x^{n}\) (\(n\) entier positif ou nul).
Montrer que, par le changement de variable \(x=\epsilon e^{t}~~(\epsilon = \pm 1)\), l'équation d'Euler devient une équation linéaire à coefficients constants.
Aide simple
A l'aide du changement de variable \(x = \epsilon e^{t}\), exprimer les fonctions dérivées \(y' = \frac{\textrm{dy}}{\textrm{dx}}\) et \(y" = \frac{\textrm{d}^{2} \textrm{y}}{\textrm{dx}^{2}}\) en fonction des dérivées \(\frac{\textrm{dy}}{\textrm{dt}}\) et \(\frac{\textrm{d}^{2} \textrm{y}}{\textrm{dt}^{2}}\).
Aide détaillée
Posons \(x = \epsilon e^{t}\), d'où \(\textrm{dx} = \epsilon e^{t} \Leftrightarrow \frac{\textrm{dt}}{\textrm{dx}} = \frac{1}{\epsilon e^{t}}\).
La fonction dérivée \(y' = \frac{\textrm{dy}}{\textrm{dx}}\) s'exprime en fonction de \(\frac{\textrm{dy}}{\textrm{dt}}\) car:
\(y' = \frac{\textrm{dy}}{\textrm{dx}} = \frac{\textrm{dy}}{\textrm{dt}}~.~\frac{\textrm{dt}}{\textrm{dx}} = \frac{1}{\epsilon e^{t}}~.~\frac{\textrm{dy}}{\textrm{dt}}\).
On pourra faire un raisonnement analogue pour l'expression de \(y"\).
Solution simple
Par le changement de variable \(x = \epsilon e^{t}\), nous trouvons les fonctions dérivées :
\(y' = \frac{\textrm{dy}}{\textrm{dx}} = \frac{1}{\epsilon e^{t}}~.~\frac{\textrm{dy}}{\textrm{dt}}\) et \(y" = \frac{\textrm{d}^{2} \textrm{y}}{\textrm{dt}^{2}} = \frac{1}{e^{2t}}~\left( -\frac{\textrm{dy}}{\textrm{dt}} + \frac{\textrm{d}^{2}\textrm{y}}{\textrm{dt}^{2}} \right)\),
et l'équation différentielle : \(\frac{\textrm{d}^{2} \textrm{y}}{\textrm{dt}^{2}} - 4y = \Big( \epsilon e^{t} \Big)^{n} = \epsilon^{n} e^{nt}\)
Solution détaillée
Posons \(x = \epsilon e^{t}\), d'où \(\textrm{dx} = \epsilon~e^{t} \Leftrightarrow \frac{\textrm{dt}}{\textrm{dx}} = \frac{1}{\epsilon e^{t}}\).
Exprimons les fonctions dérivées :
\(y' = \frac{\textrm{dy}}{\textrm{dx}} = \frac{\textrm{dy}}{\textrm{dt}}~.~\frac{\textrm{dt}}{\textrm{dx}} = \frac{1}{\epsilon e^{t}}~.~\frac{\textrm{dy}}{\textrm{dt}}\)
\(\begin{array}{r c l} y" & = & \frac{\textrm{d}^{2} \textrm{y}}{\textrm{dx}^{2}} = \frac{\textrm{dy'}}{\textrm{dx}} = \frac{\textrm{dy'}}{\textrm{dt}}~.~\frac{\textrm{dt}}{\textrm{dx}} = \frac{\textrm{d}}{\textrm{dt}} \left( \frac{1}{\epsilon e^{t}}~.~\frac{\textrm{dy}}{\textrm{dt}} \right)~\frac{1}{\epsilon e^{t}} \\ \\ & = & \left( - \frac{1}{\epsilon e^{t}}~.~\frac{\textrm{dy}}{\textrm{dt}} + \frac{1}{\epsilon e^{t}}~.~\frac{\textrm{d}^{2}\textrm{y}}{\textrm{dt}^{2}}\right)~\frac{1}{\epsilon e^{t}} \\ \\ & = & \frac{1}{e^{2t}} \left( - \frac{\textrm{dy}}{\textrm{dt}} + \frac{\textrm{d}^{2} \textrm{y}}{\textrm{dt}^{2}} \right)\end{array}\)
Reportons \(x\), \(y'\) et \(y"\) en fonction de la variable \(t\) dans l'équation d'Euler :
\(\epsilon^{2} e^{2t} \frac{1}{e^{2t}} \left( -\frac{\textrm{dy}}{\textrm{dt}} + \frac{\textrm{d}^{2}\textrm{y}}{\textrm{dt}^{2}} \right) + \frac{\epsilon e^{t}}{\epsilon e^{t}}~.~\frac{\textrm{dy}}{\textrm{dt}} - 4y= \epsilon^{n} e^{nt}\)
ou \(\frac{\textrm{d}^{2}\textrm{y}}{\textrm{dt}^{2}} - 4y = \epsilon^{n} e^{nt}\)
Question
Soit l'équation différentielle d'Euler: \(x^{2} y" + x y' - 4y = x^{n}\) (\(n\) entier positif ou nul).
Résoudre l'équation différentielle linéaire pour la fonction \(y(t)\) et en déduire les solutions de l'équation d'Euler.
Aide simple
Trouver les racines de l'équation caractéristique et la solution de l'équation homogène \(\frac{\textrm{d}^{2} \textrm{y}}{\textrm{dt}^{2}} - 4y = 0\).
Aide détaillée
Le calcul de la solution particulière de l'équation complète doit être envisagé pour \(n \neq 2\) et \(n = 2\) car \(2\) est racine de l'équation caractéristique.
Solution simple
Solution de l'équation différentielle homogène:
\(y_{0} = K_{1} e^{-2t} + K_{2} e^{2t} \Leftrightarrow y_{0} = \frac{K_{1}}{x^{2}} + K_{2}x^{2}\) avec \(K_{1}\) et \(K_{2} \in \mathbb{R}{2}\)
Solutions particulières de l'équation d'Euler :
1er cas | \(n \neq 2, y_{1} = \frac{x^{n}}{n^{2} - 4}\) |
2nd cas | \(n = 2, y_{1} = \frac{1}{4} x^{2} \ln{|x|}\) |
Solution détaillée
Recherche de la solution générale de l'équation différentielle homogène: \(\frac{\textrm{d}^{2} \textrm{y}}{\textrm{dt}^{2}} - 4y = 0\) .
L'équation caractéristique \(r^{2} - 4 = 0\) admet pour racines \(-2\) et \(2\), d'où la solution générale de cette équation homogène:
\(y_{0} = K_{1} e^{-2t} + K_{2} e^{2t}\) et \(y_{0} = \frac{K_{1}}{x^{2}} + K_{2}x^{2}\) avec \(K_{1}\) et \(K_{2} \in \mathbb{R}^{2}\) et \(x = \epsilon e^{t}\)
Recherche des solutions particulières de l'équation différentielle complète : \(\frac{\textrm{d}^{2} \textrm{y}}{\textrm{dt}^{2}} - 4y = \epsilon^{n} e^{nt}\)
1er cas : \(n \neq 2\)
On cherche la solution particulière \(y_{1}\) sous la forme: \(y_{1} = h~e^{nt}\) ( \(h\) constante), avec \(y_{1}' = h~n~e^{nt}\) et \(y_{1}" = h~n^{2}~e^{nt}\).
Portons \(y_{1}\) et \(y_{1}"\) dans l'équation d'Euler: \(y_{1}" - 4 y_{1} = h~n^{2} e^{nt} - 4 h~e^{nt} = \epsilon^{n}~e^{nt}\)
\(h (n^{2} - 4) = \epsilon^{n} \Leftrightarrow h = \frac{\epsilon^{n}}{n^{2} - 4}\)
d'où \(y_{1} = h~e^{nt} = \frac{\epsilon~n~e^{nt}}{n^{2} - 4} \Leftrightarrow y_{1} = \frac{x^{n}}{n^{2} - 4}\), avec \(x = \epsilon~e^{t}\).
2ème cas : \(n = 2\)
On cherche la solution particulière \(y_{1}\) sous la forme: \(y_{1} = µ~t~e^{2t}\) ( constante), car \(2\) est une racine de l'équation caractéristique.
Donc \(y_{1}' = µ~e^{2t} + 2 µ~t~e^{2t}\) et \(y_{1}" = (4µ + 4µt)~e^{2t}\).
Portons \(y_{1}\) et \(y_{1}"\) dans l'équation d'Euler:
\(y_{1}" - 4 y_{1} = (4µ + 4µt - 4µt)~e^{2t} = \epsilon^{2}~e^{2t} = e^{2t}~(\epsilon^{2} = \pm 1)\)
D'où par identification: \(µ = \frac{1}{4} \Leftrightarrow y_{1} = \frac{1}{4} t~\)
\(e^{2t}\)
avec .
Les solutions générales de l'équation d'Euler sont pour :
\(n \neq 2, y = \frac{K_{1}}{x^{2}} + K_{2} x^{2} + \frac{x^{n}}{n^{2} + 4}\) avec \(K_{1}\) et \(K_{2} \in \mathbb{R}^{2}\)
\(n = 2, y = \frac{K_{1}}{x^{2}} + K_{2} x^{2} + \frac{1}{4} x^{2}~\ln{|x|}\) avec \(K_{1}\) et \(K_{2} \in \mathbb{R}^{2}\)